Problema vetorial algorítmica

Eu tenho um problema algébrico relacionado a vetores no campo GF (2). Seja $v_1, v_2, \ldots, v_m$ (0,1) - vetores da dimensão e . Encontre um algoritmo de tempo polinomial que encontre um vetor (0,1) da mesma dimensão, de modo que não seja a soma de nenhum vetores entre . A adição de vetores está no campo GF (2), que possui dois elementos 0 e 1 ( e ).m = n O ( 1 ) u u ( log n ) O ( 1 ) v 1 , v 2 , … , v m 0 + 1 = 0 + 1 = 1 0 + 0 = 1 + 1 = $n$$m=n^{O(1)}$$u$$u$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,v_2, \ldots, v_m$$0+1=0+1=1$$0+0=1+1=0$

É fácil ver a existência desse vetor u por um simples argumento de contagem. Podemos encontrar em um tempo polinomial? É trivial encontrar em tempo exponencial. Vou enviar um prêmio de cheque de US $ 200 pela primeira solução correta.$u$$u$

Parece haver um erro de digitação; Suponho que você queira encontrar que não é a soma dos vetores ( log n ) O ( 1 ) entre v 1 , … , v m (não n ).$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

Não está claro para mim se alguma constante em funciona para você. Se você pode aceitar somas inferiores a vetores m log, talvez haja algo a ser feito. Mas se você deseja que essa quantidade seja ( log m ) 1 + δ , acho que é bastante difícil (estou trabalhando nesse problema há muito tempo).$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

Ainda assim, você pode estar interessado em saber que esta é uma instância do Problema de Ponto Remoto de Alon, Panigrahy e Yekhanin ("Algoritmos de Aproximação Determinísticos para o Problema de Palavra de Código Mais Próximo") para determinados parâmetros. Sejam e v 1 , … , v m as colunas da matriz de verificação de paridade de um código linear em { 0 , 1 } m de dimensão d = m - n (se essa matriz não tiver classificação completa, o problema seria trivial). Então seu problema é equivalente a encontrar u ∈ { 0 $m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$$d = m - n$ que é ( log n ) O ( 1 ) - longe do código. Essa configuração de parâmetros, onde a dimensão está muito próxima de m, não é estudada no artigo. No entanto, eles podem apenas obter o afastamento log m até a dimensão d = c m para alguma constante c . De fato, acho que não conhecemos nenhum certificado de tamanho polinomial que permitaprovarque algum vetor é mais do que ω ( log m ) - longe de um espaço de dimensão Ω ( m $u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$, muito menos encontrá-lo.

Outra conexão está no aprendizado de paridades no modelo vinculado a erros. Se alguém puder aprender eficientemente -paridades (definidas em 0 , 1 m ) com erro vinculado estritamente menor que n , poderá definir valores arbitrários para os primeiros n - 1 bits de u e `` force um erro '' no último bit, definindo-o com o valor oposto ao previsto pelo aluno. Isso parece muito mais forte.$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

O problema também está relacionado à separação do EXP de certas reduções em conjuntos esparsos.