A solução de Kristoffer pode ser usada para mostrar que, supondo que os reais sejam representados, para que possamos calcular limites de sequências de reais que são computáveis Cauchy. Lembre-se de que uma sequência é Cauchy computável se houver um mapa computável f tal que, dado qualquer k que tenhamos | a m - a n | < 2 - k para todos os m , n ≥ f ( k(an)nfk|am−an|<2−km,n≥f(k). As representações padrão dos reais são assim, por exemplo, onde um real é representado por uma máquina que calcula uma aproximação racional arbitrariamente boa. (Também podemos falar em termos de dígitos de computação, mas temos que permitir dígitos negativos. Esse é um problema bem conhecido na teoria da computabilidade dos reais.)
Teorema: Suponha é um subconjunto de tal modo que existe um calculável sequência ( um n ) n o qual é computably Cauchy e o seu limite de x = lim n um n é fora S . Então a pergunta "é um número real x um elemento de S " é indecidível.S⊆R(an)nx=limnanSxS
Prova.
Suponha que fosse decidível. Dada qualquer máquina de Turing T , considere a sequência b n definida como
b n = { a n se T não tiver parado nos primeiros n passos, a m se T tiver parado no passo m e m ≤ n .
É fácil verificar se b n é Cauchy computacionalmente, portanto, podemos calcular seu limite y = lim n b n . Agora temos ∈STbn
bn={anamif T has not halted in the first n steps,if T has halted in step m and m≤n.
bny=limnbn iff
Ty∈ST paradas, para que possamos resolver o Deter problema. QED.
Há uma dupla teorema em que assumimos a seqüência está fora , mas seu limite está em S .SS
Exemplos de conjuntos satisfazem essas condições são: um intervalo aberto, um intervalo fechado, os números negativos, o singleton { 0 } , números racionais, números irracionais, números transcendentais, números algébricos etc.S{0}
Um conjunto que não satisfaz as condições do teorema é o conjunto de números racionais traduzidos por um número não computável α . Exercício: S é decidível?S={q+α∣q∈Q}αS