Reconstruindo uma árvore a partir de consultas separadoras

Suponha que é uma árvore de grau constante cuja estrutura não conhecemos. O problema é produzir a árvore$T$$T$ , solicitando consultas no formulário: "O nó $x$ fica no caminho do nó $a$ ao nó $b$ ?". Suponha que cada consulta possa ser respondida em tempo constante por um oráculo. Sabemos o valor de $n$ , o número de nós na árvore. O objetivo é minimizar o tempo necessário para produzir a árvore em termos de $n$ .

Existe um algoritmo $o(n^2)$ para o problema acima?

Suponha que o grau de qualquer nó em $T$ seja no máximo 3.

O que eu sei

A caixa com diâmetro limitado é fácil . Se o diâmetro da árvore for $D$ , podemos obter um algoritmo de dividir e conquistar:

Qualquer árvore binária possui um bom separador que divide a árvore em componentes de tamanho não inferior a 1 / 3n.

1. Escolha qualquer vértice x. Se é um bom separador rotule isso e recorra.
2. Encontre todos os 3 vizinhos de x.
3. Mova na direção do vizinho que possui o maior número de nós. Repita a etapa 2 com o vizinho.

Como encontrar o separador leva no máximo $D$ etapas, obtemos um algoritmo $O(nD\log n)$ .

Um $O(n\;\log^2 n)$ algoritmo aleatório. (movido dos comentários abaixo)

Escolha dois vértices x e y aleatoriamente. Com 1/9 de probabilidade, eles ficarão do lado oposto de um separador. Escolha o nó do meio do caminho de $x$ a $y$ . Veja se é um separador, se não fizer pesquisa binária.

Leva $O(n\;\log n)$ tempo esperado para encontrar o separador. Então obtemos um$O(n\;\log^2 n)$ algoritmo aleatório.

Fundo. Aprendi sobre esse problema com um amigo que trabalha em modelos gráficos probabilísticos. O problema acima corresponde aproximadamente a aprender a estrutura de uma árvore de junção usando um oráculo que, dadas três variáveis ​​aleatórias X, Y e Z, pode dizer o valor da informação mútua entre X e Y, dado o valor de Z. Se o valor estiver próximo para zero, podemos supor que Z esteja no caminho de X a Y.

Não. A seguinte estratégia simples de adversário implica que qualquer algoritmo para reconstruir uma árvore de nodos requer pelo menos ( n - $n$consultas "intermediárias".$\binom{n-1}{2} = n(n-1)/2$

Rotule arbitrariamente os nós . O adversário responde a todas as perguntas como se a árvore fosse uma estrela com o vértice 0 no centro; pense em 0 como raiz e os outros nós como filhos.$0,1,2,\dots,n-1$$0$$0$

Between?(a,x,b)
    if x=0 return TRUE else return FALSE

$n(n-1)/2$$y$$z$$(0,y,z)$$0$$x$$y$

$0$$n-1$$(2n-3)$$n(n-1)/2$$m$$(m+3)(m+2)/8$

$\tilde O(n \sqrt{n})$