NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

Em "Sobre determinismo versus não determinismo e problemas relacionados" (Proc. IEEE FOCS, páginas 429-438, 1983), Paul, Pippenger, Szemerédi e Trotter provaram que .
$\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)$

Isso responde à minha pergunta com k = 1. Existe algo conhecido sobre um resultado semelhante para outro k fixo?

Nenhum limite inferior incondicional é conhecido por qualquer no modelo multitape TM (ou qualquer modelo mais forte que ele).$k \geq 2$

Ravi Kannan estudou esse problema em "Para separar o não determinismo do determinismo" (1984) . No processo de tentar mostrar ele conseguiu provar o seguinte: existe uma constante universal tal que, para cada , . Aqui, TIME-ESPAÇO (n ^ k, n ^ {k / c}) é a classe de idiomas reconhecidos pelas máquinas usando o tempo n ^ k e o espaço n ^ {k / c} simultaneamente. Claramente TIME-SPACE (n ^ k, n ^ {k / c}) \ subseteq TIME (n ^ k), mas não se sabe se são iguais.$NTIME(n^k) \neq TIME(n^k)$$c \geq 1$$k$$NTIME(n^k) \not \subseteq TIME-SPACE(n^k,n^{k/c})$$TIME-SPACE(n^k, n^{k/c})$$n^k$$n^{k/c}$$TIME-SPACE(n^k,n^{k/c}) \subseteq TIME(n^k)$

Se você assumir por algum $k \geq 2$ que $NTIME(n^k) = TIME(n^k)$ , você terá consequências interessantes. $P=NP$ é óbvio, mas também implica que ${\sf NL} \neq {\sf P}$ . Isso pode ser provado usando um argumento de "negociação de alternância". Basicamente, para cada $k$ e todo idioma $L \in {\sf NL}$ , existe uma constante $c$ e alguma máquina alternada que reconhece $L$ e faz $c$ alternações, adivinha $O(n)$ bits por alternação e depois muda para um modo determinístico e é executado em $n^k$ tempo. (A seguir, por exemplo, de brincar com as construções emFortnow, "Trocas de tempo e espaço pela satisfação" (1997) .) Agora, se $TIME(n^k) = NTIME(n^k)$ , todas essas alternâncias $c$ podem ser removidas com apenas uma pequena quantidade de sobrecarga e você acaba com um $TIME(n^k)$ a computação que reconhece $L$ . Portanto, ${\sf NL }\subseteq TIME(n^k) \neq {\sf P}$ . Provavelmente não existe essa simulação alternada, mas se você puder descartá-la, terá o limite inferior que procura. (Nota: acredito que o argumento acima também esteja no artigo de Kannan.)

Embora não seja exatamente o que você está perguntando, rj lipton comenta em seu blog a dificuldade fundamental dos resultados nessa área e que a abordagem típica do "preenchimento" não se aplica [1] e ressalta que o resultado do PPST, como você mencionou, recentemente foi ligeiramente estendida (por um fator logarítmico) por Santhanam [2]

[1] http://rjlipton.wordpress.com/2011/01/19/we-believe-a-lot-but-can-prove-little/

[2] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.2392