Reforços da submodularidade

Uma função de ajuste é submodular monótono se para todos , A , B f ( A ) + f ( B ) ≥ f ( A ∪ B ) + f ( A ∩ B ) $f$$A,B$

$$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$$

Uma propriedade mais forte é Tomando C = A \ cup B , essa propriedade implica submodularidade monótona.C=A∪

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ $C = A\cup B$

Esta propriedade é conhecida?

fundo

Essa propriedade surgiu ao tentar caracterizar as funções de cobertura. Dado alguns universo ponderada $U$ (todos os pesos são para não-negativa) e uma família $X$ de subconjuntos de $U$ , a função de cobertura $f(S)$ é definida por $S \subseteq X$ como o peso total de elementos cobertos por conjuntos em $S$ . A função $f$ é sempre monótona e submodular. O contrário não é verdade.

A propriedade em questão implica que $f$ é uma função de cobertura no caso $|X| = 3$ . Propriedades semelhantes e mais complicadas funcionam para um X maior $X$. Todas essas propriedades são satisfeitas pelas funções de cobertura, portanto, essa é uma caracterização completa.

Existe uma caracterização completa das funções de cobertura em termos de tais equações. Para | X |> 3, existem mais equações do que as apontadas. Cada uma dessas equações pode ser pensada como uma restrição na derivada discreta .$k^{th}$

Função de aumento monotônico se e somente se a derivada discreta de primeira ordem for + ve. isto é, quando .$f(B)-f(A)\ge 0$$A\subseteq B$

Submodularidade se e somente se a derivada discreta de segunda ordem for -ve. ou seja, .$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

Da mesma forma, se você tiver condições nos próximos derivados, obterá funções de cobertura. (Acho que os sinais precisam ser + ve para derivada de ordem par e -ve para derivada de ordem ímpar)$n$

Algo semelhante já era conhecido em probabilidade. Uma função de cobertura também pode ser pensada como uma medida de probabilidade (até uma constante de escala). A única referência que consegui desenterrar foi a página 439 do livro de Feller sobre probabilidade.

$$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ A condição "agregada" é mencionada no artigo "Uma caracterização de um cone de funções pseudo-booleanas através de desigualdades do tipo supermodularidade" por Cramma, Hammer e Holtzman (desigualdade (4)), que faz parte da rara coleção "Métodos quantitativos in den Wirtschaftswissenschaften ". Essa condição deve ser a mesma que a minha.

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$$ $C = \varnothing$