Construindo vetores em posição geral

Deixe uma matriz $k\times n$ ( $k\le n$ ) real ${\bf A}$ com a propriedade de que qualquer coleção de $k$ colunas tenha classificação completa.

Q: Existe uma maneira eficiente de deterministically encontrar um vetor ${\bf a}$ tal forma que a matriz aumentada ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ preserva a mesma propriedade que ${\bf A}$ : quaisquer $k$ colunas são de classificação completa.

Nota de rodapé relevante: Uma matriz que possui essa propriedade é o gerador de um código Reed-Solomon $(n,k)$ : adicionar colunas que preservam sua estrutura Vandermonde preserva a propriedade rank.

— Dimitris
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Não tenho certeza se entendi seu ponto de vista. Eu exijo que

k \leq n

$k\le n$ ,

k = n

$k=n$ não é um problema.

— precisa

@ Jɛ ﬀ E k não muda: no caso de k = n, apenas n das (agora) n + 1 colunas precisa ter classificação completa. Nesse caso, o problema deve ser fácil: encontre uma transformação afim da matriz em uma base ortogonal de R ^ n e, em seguida, deixe ser o vetor cuja imagem abaixo é o vetor all 1s.

— Suresh Venkat

Parece-me que essa deve ser uma maneira de fazer isso através do Grassmanian, mas não vejo bem como.

— Suresh Venkat

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

boa pergunta. soa como uma versão mais fraca do problema de verificar a propriedade isometry restrita, que está aberta até onde eu sei.

— Sasho Nikolov

$\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Jeffε
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Não posso deixar de concordar :). O problema ocorre quando você deseja verificar se esse vetor funciona (não importa se funciona como). Você precisa verificar subconjuntos de colunas. Esse problema de verificação se torna mais relevante quando você considera os campos finitos (de ordem fixa), mas tentei evitar falar sobre eles.

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— precisa

A pergunta pede especificamente um algoritmo determinístico eficiente . Se você responder algo relacionado, mas não satisfizer a condição indicada na pergunta, você deve dizê-lo explicitamente na minha opinião.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto what, você não gosta de gatinhos? :)

— Suresh Venkat

@Suresh: Na prática, seria divertido se meu computador se transforma de repente em um gatinho. Em teoria, porém, primeiro você precisa definir um gatinho.

— Tsuyoshi Ito

@ Jɛ ﬀ E Talvez eu devesse ter esclarecido por que essa questão é de algum interesse. A questão real é a mesma, mas sobre campos finitos, mas eu costumo pensar que os campos complicam as questões de álgebra linear. O aplicativo é o design de matrizes "boas" de gerador de código. Podem ser mostrados aleatórios (entradas do iid) para satisfazer a propriedade whp, usando ferramentas como o lema de Schwartz – Zippel. Para esse problema, o SZ geralmente requer ordens de campo de e você não pode verificar com eficiência se as matrizes realmente funcionam. Por que isso é importante? Como os códigos provavelmente são confiáveis, algumas vezes não são os preferidos.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— precisa