Imagem geométrica por trás dos expansores quânticos


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(também solicitado aqui , sem respostas)

Um expansor de quantidade é uma distribuição sobre o grupo unitário com a propriedade que: a) , b) , onde \ mu_H é a medida de Haar. Se, em vez de distribuições por unidades unitárias, consideramos distribuições por matrizes de permutação, não é difícil ver que recuperamos a definição usual de um gráfico expansor d- regular. Para obter mais informações, consulte, por exemplo: Expansores de produtos com tensores quânticos eficientes e projetos k da Harrow e Low.(d,λ)νvocê(d)|svocêpp ν|=d__Evocêνvocêvocê-EvocêμHvocêvocê__λμHd

Minha pergunta é: os expansores quânticos admitem algum tipo de interpretação geométrica semelhante aos expansores clássicos (onde gap espectral isoperimetria / expansão do gráfico subjacente)? Não defino formalmente "realização geométrica", mas conceitualmente, poder-se-ia esperar que um critério puramente espectral pudesse ser traduzido para alguma imagem geométrica (que, no caso clássico, é a fonte de riqueza matemática desfrutada pelos expansores; estrutura matemática do quantum expansores parecem ser muito mais limitados).


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Talvez haja uma pergunta mais simples escondida embaixo? Há um passeio aleatório natural associado ao Laplaciano de um gráfico, e os autovalores deste último falam sobre a mistura do primeiro. É essa visão "geométrica" ​​de passeios aleatórios (em termos de difusão de calor) que nos ajuda a interpretar expansores no caso clássico. Existe uma ligação semelhante entre caminhadas aleatórias quânticas e propriedades de matrizes Hadamard associadas?
Suresh Venkat

Respostas:


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[Esta resposta foi copiada da minha resposta no site de troca de pilha teórica agora extinta.] Para expansores clássicos, a definição espectral pode ser expressa em termos do segundo menor valor próprio do gráfico Laplaciano, que pode ser considerado o mínimo de uma forma quadrática sobre todos os vetores unitários ortogonais ao vetor all-ones. Se restringirmos essa minimização a vetores da forma (a, a, ..., a, b, b, ..b), isso produzirá a expansão da aresta do gráfico. aqui está uma discussão. A equivalência grosseira dessas duas definições é conhecida como desigualdade de Cheeger .

Isso sugere que, para o caso quântico, devemos considerar a ação do canal (formada pela aplicação de uma unidade aleatória do expansor) nos projetores. Um resultado análogo à desigualdade de Cheeger é derivado no Apêndice A do arXiv: 0706.0556 .

Por outro lado, embora isso seja matematicamente análogo, ainda conhecemos muito menos aplicações de expansores quânticos do que os expansores clássicos.


Aceite meu convite para: quantumcomputing.stackexchange.com .
Rob
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