Termo aditivo.
Depois de repensar a forma da sua pergunta ( por exemplo, o M † M no denominador - em oposição a um único operador M, o suficiente para os projetores) e reconsiderar minha cópia de Nielsen e Chaung, aqui estão alguns detalhes adicionais não coberto pela minha resposta anterior. (Estou postando isso como uma resposta separada devido ao tamanho e porque sinto que isso é ainda menos uma 'explicação' do que minha resposta anterior.)
Suponha-se que o nosso único meio de medição uma qbit X é indirecta: por uma interacção 'fraca' com um ancila A , seguida por uma medição em um . Nós gostaríamos de ser capaz de falar sobre estes como sendo de certa forma uma forma de medir X . Como podemos descrever essa medida apenas em termos de X ? Bem: suponha que possamos preparar facilmente A no estado inicial e executar uma controlada do seguinte tipo, com X como controle e A como destino:|+⟩∝|0⟩+|1⟩
U=⎡⎣⎢⎢⎢⎢1000010000cos(π12)−sin(π12)00sin(π12)cos(π12)⎤⎦⎥⎥⎥⎥
Em seguida, medimos A na base padrão (para que A agora armazene o resultado da medição). Isso transforma o estado de X da seguinte maneira:
|ψ0⟩X=↦↦=↦α|0⟩X+β|1⟩Xα|0⟩X⊗(12√|0⟩A+12√|1⟩A)+β|1⟩X⊗(12√|0⟩A+12√|1⟩A)α|0⟩X⊗(12√|0⟩A+12√|1⟩A)+β|1⟩X⊗(3√2|0⟩A+12|1⟩A)(α2√|0⟩X+3√β2|1⟩X)⊗|0⟩A+(α2√|0⟩X+β2|1⟩X)⊗|1⟩A⎧⎩⎨|ψ1⟩X⊗|0⟩A∝(α2√|0⟩X+3√β2|1⟩X)⊗|0⟩A|ψ1⟩X⊗|1⟩A∝(α2√|0⟩X+β2|1⟩X)⊗|1⟩Afor the result 0; or for the result 1.
Nas equações acima, observe que se o resultado da medida for c , o estado final de X é proporcional a , onde definimos|ψ1⟩|ψ′1⟩=Mc|ψ0⟩
M0=12√|0⟩⟨0|+3√2|1⟩⟨1|,M1=12√|0⟩⟨0|+12|1⟩⟨1|;
e podemos verificar se as probabilidades com as quais obtemos os resultados da medição estão em cada caso .⟨ψ′1|ψ′1⟩=⟨ψ0|M†cMc|ψ0⟩
Isso está muito próximo de descrever a transformação de X da mesma maneira que descrevemos medições projetivas. Mas isso é algum tipo de medida, falando de maneira significativa? Bem: se pudermos fazer estatísticas sobre os resultados de várias iterações desse procedimento, e se X estiver inicialmente na base padrão, perceberemos que existe um viés quando obtemos o resultado '0': obtemos com mais frequência quando X estiver inicialmente no estado . Se pudermos amostrar tempos suficientes para distinguir se os resultados da medição são distribuídos de forma mais semelhante ou , podemos determinar com alta probabilidade se o qubit está inicialmente no estado|1⟩(12,12)(34,14)|0⟩ ou o estado .|1⟩
A semelhança das fórmulas de probabilidade e atualização com as medidas projetivas e o fato de podermos usar estatísticas de medidas para obter informações sobre o estado medido motivam uma generalização da noção de 'medição' para incluir procedimentos como o acima: podemos descrever possíveis resultados de medição por um, dois ou mais operadores (que são de fato 'operadores Kraus', objetos associados a mapas de CPTP), com resultados descritos por uma regra de Born ligeiramente generalizadaMc
Pr|ψ0⟩(result=c)=⟨ψ0|M†cMc|ψ0⟩,
onde é um operador Kraus associado à sua medição e com uma regra de atualização fornecida porMc
|ψ1⟩=Mc|ψ0⟩⟨ψ0|M†cMc|ψ0⟩−−−−−−−−−−−−√.
A fim de que as probabilidades de ser conservado (de modo que, com certeza , pelo menos, um dos resultados de medição ocorre), que requerem . Essa é a forma mais geral da sua pergunta, descrita por Nielsen e Chaung. (Novamente, isso parece um pouco melhor ao descrever estados por operadores de densidade.)∑cM†cMc=I
Observações gerais.
Em geral, sempre que introduzimos uma ancilla (ou coleção de ancillas) A , interagimos um qubit (ou registramos vários qubits) X de forma unitária com A e depois executamos uma medição projetiva em A , isso gera uma espécie de medida de X ; os operadores de medição podem ser descritos por alguma coleção de operadores semidefinidos positivos modo que (novamente para que a probabilidade seja conservada).∑ c M † c M cMc∑cM†cMc=I
As medidas mais gerais e fracas descritas aqui estão mais estreitamente relacionadas aos POVMs, que permitem descrever facilmente as probabilidades de medição 'abstratamente', sem uma escolha explícita das transformações , fornecendo aos operadores e permitindo o uso estes na regra Born para calcular probabilidades. Como eu mencionei acima e em minha resposta anterior, os POVMs podem ser considerados como descrevendo informações estatisticamente disponíveis sobre um sistema.E c = M † c M cMcEc=M†cMc
Pensar em medições em termos de operadores Kraus (e em termos de um 'registro de resultados de medições' A como acima) dessa maneira permite incluir a noção de medições na de um mapa de CPTP, que é uma ideia que eu gosto. (No entanto, isso realmente não muda as coisas do ponto de vista analítico e não é algo com que você deva se preocupar se ainda não estiver confortável com os mapas de CPTP).