Hastes de filtro Bloom: mais ou maior?

Na implementação de um filtro Bloom, a abordagem tradicional exige várias funções hash independentes. Kirsch e Mitzenmacher mostraram que você realmente precisa apenas de dois e pode gerar o restante como combinações lineares.

Minha pergunta é: qual é realmente a diferença entre duas funções de hash e uma com o dobro da entropia?

Isso vem da observação do que você realmente faz com a saída de suas funções de hash: você pega seu (digamos) valor de hash de 64 bits e o dimensiona para o tamanho do seu vetor de bits, que provavelmente é significativamente menor que 2 ⁶⁴ . Essa é claramente uma transformação que perde a entropia (exceto nos raros casos, o tamanho do hash e a capacidade do filtro coincidem exatamente). Supondo que meu filtro tenha menos de 2 ³² entradas, o que me impede de dividir meu valor de hash de 64 bits em dois hashes de 32 bits e usar combinações lineares deles? Ou usá-lo para propagar um PRNG?

Em outras palavras, quantas informações eu realmente preciso saber sobre cada elemento que insiro em um filtro Bloom para garantir que a taxa de falsos positivos padrão seja mantida? Ou, de maneira mais geral, qual é a relação entre o quão bem eu posso distinguir elementos (quantos bits eu uso para descrevê-los) e o desempenho do meu filtro Bloom?

Parece que posso obter bits para um tamanho de filtro de m ou equivalentemente 2 ( lg ( - n ln p ) - 2 lg ( ln 2 ) ) bits para armazenar n elementos com probabilidade de falso positivo ....$2\lg(m)$$m$$2(\lg(-n\ln{p}) - 2\lg(\ln2))$$n$$p$

Você está certo ao pensar em funções hash em termos de "bits aleatórios produzidos". Portanto, se você possui uma função hash que produz um hash de 64 bits, pode tratar como 4 hashes de 16 bits (dividindo) e assim por diante.

$2 \lg(m)$