Eu não sou um teórico da ciência da computação, mas acho que esse problema do mundo real pertence aqui.

O problema

Minha empresa possui várias unidades em todo o país.

Oferecemos aos funcionários a possibilidade de trabalhar em outra unidade. Mas há uma condição: o número total de trabalhadores em uma unidade não pode mudar.

Isso significa: permitiremos que um funcionário saia de sua unidade se alguém quiser seu lugar.

Dados de solicitação de exemplo (ficticious):

Name            Origin    Destination
Maria              1  ->  2
Marcos             2  ->  3
Jones              3  ->  4
Terry              4  ->  5
Joe                5  ->  6
Rodrigo            6  ->  1
Barbara            6  ->  1
Marylin            1  ->  4
Brown              4  ->  6
Benjamin           1  ->  3
Lucas              4  ->  1

O acima, plotado:

Veja como temos que escolher entre as opções vermelha, azul ou preta?

O problema real é um pouco mais complexo, porque temos 27 unidades e 751 solicitações. Por favor, dê uma olhada na visualização

O objetivo

Tendo coletado todos os pedidos, como satisfazer a maioria deles?

Aplicação da teoria (?)

Tendo o gráfico , que cada unidade seja um vértice V e uma solicitação seja uma aresta direcionada E , uma troca bem-sucedida assumirá a forma de um cyle direcionado.$G(V, E)$$V$$E$

Cada ciclo deve usar apenas uma vez ( um trabalhador não pode deixar sua unidade duas vezes ), mas pode visitar V várias vezes ( uma unidade pode ter muitos trabalhadores que desejam sair ).$E$$V$

A questão

Se este problema for expresso como

"Como encontrar os ciclos que, juntos, envolvem o maior número de arestas não compartilhadas em um gráfico direcionado"?

Satisfazeremos a maioria dos solicitantes?

Isso é verdade, existe um algoritmo para encontrar esse conjunto ideal de ciclos?

Essa abordagem greddy resolverá o problema?

1. Encontre o maior ciclo direcionado em ;$G$
2. Remova as arestas de ;$G$
3. Repita 1 até que não haja um ciclo direcionado em ;$G$

Pode me ajudar?

Você conhece outra maneira de descrever o problema original (agradar a maioria dos solicitantes)?

Editar : departamento alterado para unidade, para melhor descrever o problema.

OK, li o código do TradeMaximizer e acredito que ele resolve o seguinte problema mais geral.

PROBLEMA: Dado é um gráfico direcionado cujos arcos têm custos. Encontre um conjunto de ciclos separados por vértices que maximize o número de vértices cobertos primeiro e minimize o custo total em segundo.

Para resolver a pergunta feita aqui, faça com que os vértices sejam funcionários e desenhe um arco do custo unitário quando x desejar o trabalho de y . Observe que agora os funcionários são vértices e não arestas. O bom é que um funcionário pode dizer "Eu realmente quero o emprego de y , mas o de z também".$x\to y$$x$$y$$y$$z$

Solução:

1. Crie um gráfico bipartido da seguinte forma: para cada vértice no gráfico original, introduza um vértice esquerdo x L , um vértice direito x R e um arco x L → x R cujo custo é enorme (maior que a soma dos custos no original) gráfico). Para cada arco x → y no gráfico original, introduza um arco x L → y R no gráfico bipartido.$x$$x_L$$x_R$$x_L\to x_R$$x\to y$$x_L\to y_R$

2. Encontre uma correspondência perfeita de custo mínimo no gráfico bipartido.

Também existe algum pré-processamento do gráfico original: remova os arcos entre os SCCs e processe todos os SCCs de tamanho conforme indicado acima.$>1$

(Na verdade, o TradeMaximizer repete todas as soluções ideais, de acordo com os dois critérios acima, a fim de otimizar heuristicamente outras coisas, como a duração do maior ciclo. Grandes ciclos aumentam a chance de um "negócio" não passar porque um pessoa muda de idéia.)

PS: O autor, Chris Okasaki, confirmou que é isso que o código faz, na postagem do blog .

$1$$-1$

Como todos os custos e capacidades são limitados por constantes, um algoritmo simples de cancelamento de ciclo encontrará a circulação necessária em tempo polinomial. Isso é quase o mesmo que o algoritmo ganancioso óbvio:

while G has any negative-cost directed cycles
    γ = arbitrary negative-cost directed cycle
    reverse every edge in γ
    negate the cost of every edge in γ
return the subgraph of reversed edges

$O(VE)$$0$$-E$$E$$O(VE^2)$

Este não é o algoritmo mais rápido conhecido.

Essa abordagem gananciosa nem sempre oferece a melhor solução.

$C$$n$$\{(v_1, v_2),\dots,(v_n,v_1)\}$$C_1$$C_2$$n-1$$C$

$C$$n$$C_1$$C_2$

$C_1$$C_2$$2(n-1)=2n-2$

$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$

provavelmente existe uma maneira / formulação da teoria dos grafos para resolver isso, mas esse problema me parece mais um problema de permutação, onde algumas de todas as permutações são rejeitadas e outras são válidas. as permutações são funcionários e os cargos são "cargos" na empresa. uma permutação é rejeitada se não atender aos requisitos de "pessoa [x] quer posição [y]". a distinção dos limites de unidades / depts / org é aparentemente um tanto supérflua para a solução nesse caso.

esse tipo de problema de permutação com restrições pode ser facilmente convertido em uma instância do problema SAT (satisfação). as atribuições de variáveis ​​booleanas representam funcionários e as cláusulas de restrição representam as restrições "pessoa [x] deseja posição [y]". existem exemplos clássicos próximos disso, geralmente chamado de "mesa de jantar", onde você tem lugares sentados e convidados e nem todos querem sentar um ao lado do outro (ou muito similarmente, alguns convidados querem sentar ao lado de outros convidados).

e, é claro, existem sofisticados solucionadores SAT para instâncias razoavelmente grandes, envolvendo aproximadamente centenas de variáveis ​​e cláusulas no PC e, se o problema não for "difícil", aos milhares.

veja, por exemplo, [1] para uma referência profissional e [2] para um exercício de classe. há também alguma semelhança estrutural com o que é conhecido como "problemas nos buracos dos pombos", que é bem estudado nos círculos do SAT, onde os pombos são designados aos buracos dos pombos e você tem mais ou menos buracos que os pombos. nesse caso, no entanto, os pombos são geralmente vistos como intercambiáveis. em outras palavras, o problema da mesa de jantar é como o problema do pombo com restrições mais fortes e os convidados / pombos exigiram preferências.

observe, é claro / tenha em mente que, para esses tipos de problemas, dependendo das restrições, a resposta pode ser "não existe uma solução restrita".

[1] o algoritmo da mesa de jantar, por crato

[2] CS402 Princeton HW SAT

[3] Problema de satisfação, wikipedia