Complexidade de decidir se uma matriz é totalmente regular


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Uma matriz é chamada totalmente regular se todas as suas submatrizes quadradas tiverem classificação completa. Tais matrizes foram usadas para construir superconcentradores. Qual é a complexidade de decidir se uma determinada matriz é totalmente regular sobre os racionais? Sobre campos finitos?

Mais geral, chame uma matriz de totalmente regular se todas as suas submatrizes quadradas de tamanho, no máximo, k tiverem uma classificação completa. Dada uma matriz e um parâmetro k , qual é a complexidade de decidir se a matriz é totalmente k- regular?kkkk


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Uma pergunta elementar: o que você quer dizer quando diz matriz regular? Obrigado!
Henry Yuen

você quer dizer que toda submatriz não é singular? eu lembro que havia uma pergunta semelhante que eu não posso encontrar agora
Sasho Nikolov

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Na verdade, existem três significados diferentes de regular: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix
Suresh Venkat

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ah, encontrou a pergunta relacionada: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . sua pergunta se encaixa mais de perto no comentário que fiz lá: essa é uma variante mais fácil da questão (amplamente aberta do AFAIK) de testar a parte de isometria restrita.
Sasho Nikolov

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Em campos finitos, testar se uma matriz é k- regular é equivalente a verificar se uma matriz geradora de código n × k tem distância mínima n - k + 1 (isto é, se é MDS). Mesmo aproximações de fator constante para encontrar a distância mínima do código são difíceis. Verifique este documento ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf e as referências internas. n×kkn×knk+1
Dimitris

Respostas:


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O artigo Vandermonde Matrices, NP-Completeness e Transversal Subspaces [ps] de Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits e Pascal Koiran pode ser relevante para a sua pergunta (embora ela não responda).

Eles provar o -completeness do seguinte problema: Dado um n × m matriz sobre Z ( n m ), decidir se existe um n x n submatriz cujo determinante desaparece.NPn×mZnmn×n


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Obrigado Bruno! Não podemos reduzir o problema da sua resposta ao meu problema por uma redução aleatória (acima dos racionais)? Basta adicionar linhas aleatórias. Se a nova matriz não é totalmente regular, em seguida, ele contém uma singular n × n -submatrix nas primeiras n linhas com alta probabilidade. Ah não. A submatriz pode ser menor. Mas talvez se possa fazer este trabalho ...mnn×nn
Markus Bläser

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Sim, o problema é essencialmente equivalente ao (General Position) no Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits e Pascal Koiran papel .

Considere uma matriz A , n < m . Sem perda de generalidade, suponha que a classificação ( A ) = n e as primeiras n colunas de A sejam independentes: A = [ B | D ] , onde B é uma matriz n × n não singular . Agora, A contém uma submatriz singular n × n se e somente se B - 1 Dn×mAn<mrank(A)=nnAA=[B | D]Bn×nAn×nB1D não é totalmente regular.


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Há outro problema NP-Complete no mesmo espírito: para uma matriz quadrada decidir se todas as suas principais submatrizes (isto é, linhas e colunas do mesmo conjunto) são não singulares. Outro fato curioso: a soma dos quadrados dos determinantes de todas as sub-matrizes quadradas é fácil (apenas Det (I + AA ^ {T})), mas a soma dos valores absolutos é # P-Completa.

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