Complexidade de decidir se uma matriz é totalmente regular

Uma matriz é chamada totalmente regular se todas as suas submatrizes quadradas tiverem classificação completa. Tais matrizes foram usadas para construir superconcentradores. Qual é a complexidade de decidir se uma determinada matriz é totalmente regular sobre os racionais? Sobre campos finitos?

Mais geral, chame uma matriz de totalmente regular se todas as suas submatrizes quadradas de tamanho, no máximo, tiverem uma classificação completa. Dada uma matriz e um parâmetro , qual é a complexidade de decidir se a matriz é totalmente regular? $k$ $k$ $k$ $k$

— Markus Bläser
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Uma pergunta elementar: o que você quer dizer quando diz matriz regular? Obrigado!

— Henry Yuen

você quer dizer que toda submatriz não é singular? eu lembro que havia uma pergunta semelhante que eu não posso encontrar agora

— Sasho Nikolov

Na verdade, existem três significados diferentes de regular: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ah, encontrou a pergunta relacionada: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . sua pergunta se encaixa mais de perto no comentário que fiz lá: essa é uma variante mais fácil da questão (amplamente aberta do AFAIK) de testar a parte de isometria restrita.

— Sasho Nikolov

Em campos finitos, testar se uma matriz

regular é equivalente a verificar se uma matriz geradora de código

tem distância mínima

(isto é, se é MDS). Mesmo aproximações de fator constante para encontrar a distância mínima do código são difíceis. Verifique este documento ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf e as referências internas.

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

Respostas:

O artigo Vandermonde Matrices, NP-Completeness e Transversal Subspaces [ps] de Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits e Pascal Koiran pode ser relevante para a sua pergunta (embora ela não responda).

Eles provar o -completeness do seguinte problema: Dado um matriz sobre ( ), decidir se existe um submatriz cujo determinante desaparece. $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Bruno
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Obrigado Bruno! Não podemos reduzir o problema da sua resposta ao meu problema por uma redução aleatória (acima dos racionais)? Basta adicionar

linhas aleatórias. Se a nova matriz não é totalmente regular, em seguida, ele contém uma singular

-submatrix nas primeiras

linhas com alta probabilidade. Ah não. A submatriz pode ser menor. Mas talvez se possa fazer este trabalho ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Markus Bläser

Sim, o problema é essencialmente equivalente ao (General Position) no Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits e Pascal Koiran papel .

Considere uma matriz , . Sem perda de generalidade, suponha que a e as primeiras colunas de sejam independentes: , onde é uma matriz não singular . Agora, contém uma submatriz singular se e somente se $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ não é totalmente regular.

— gurvits leonídeos
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Há outro problema NP-Complete no mesmo espírito: para uma matriz quadrada decidir se todas as suas principais submatrizes (isto é, linhas e colunas do mesmo conjunto) são não singulares. Outro fato curioso: a soma dos quadrados dos determinantes de todas as sub-matrizes quadradas é fácil (apenas Det (I + AA ^ {T})), mas a soma dos valores absolutos é # P-Completa.

— gurvits leonídeos
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