Os autômatos multipebble podem decidir todas as linguagens determinísticas sensíveis ao contexto?

Um MPA (autômato multipebble) é um 2DFA (autômato finito determinístico de duas vias) que pode usar um número arbitrário de seixos (na verdade, no máximo seixos em uma determinada entrada - a entrada é gravada na fita entre as duas extremidades -markers como ). Durante o cálculo, um MPA pode detectar se o símbolo sob a cabeça tem uma pedra e, em seguida, pode colocar uma pedra (remova a pedra) se não houver pedra (uma pedra).$|w|+2$$w$$\# w \#$

$h_k(\sigma) = \underbrace{\sigma \cdots \sigma}_{k \mbox{ times}} = \sigma^k$ é um homomorfismo, onde é um símbolo e .$\sigma$$k>0$

Para qualquer linguagem determinística sensível ao contexto não é difícil mostrar que existe um de modo que possa ser reconhecido por um MPA. Então, falando livremente, podemos dizer que$\mathtt{L} ~~ \left( \mathtt{L} \in \mathsf{DSPACE(n)} \right),$$k>0~$$h_k( \mathtt{L} )$

qualquer "problema" decidível por um DTM de espaço linear (máquina determinística de Turing) pode ser decidido por um MPA.

Isso também se aplica a qualquer idioma em ? Os MPAs podem decidir todas as linguagens determinísticas sensíveis ao contexto?$\mathsf{DSPACE(n)}$

$|w|$é o comprimento de .$w$

$w_i$ é o símbolo de , onde.$i^{th}$$w$$1 \leq i \leq |w|$

$h_k(\mathtt{L}) = \left\lbrace h_k(w_1) h_k(w_2) \cdots h_k(w_{|w|}) \mid w \in \mathtt{L} \right\rbrace$ .

Talvez você possa criar uma linguagem no DPSACE (n) que não possa ser reconhecida por um MPA com usando um argumento de diagonalização (provavelmente a ideia é semelhante à da resposta de Ben, mas não a expliquei):$k=1$

Suponha que no alfabeto você codifique um MPA usando uma lista de transições:$\Sigma = \{0,1\}$

$s,a,p \rightarrow s',p',L|R;...\#$

onde é o estado atual, é o símbolo atual, é o status do seixo, é o novo estado, é o novo estado do seixo, é a direção do movimento, é um marcador final).a p s ′ p ′ L | R $s$$a$$p$$s'$$p'$$L|R$$\#$

Uma máquina de Turing na entrada pode verificar se é uma descrição válida de um e simulá-la na entrada para etapas usando células, estendendo a entrada desta maneira:$M$$x$$MPA_x$$x$$4^{|x|}$$6|x|+\log|x|$

 MPA description # MPA tape # curr_state # counter #

Onde:

• A descrição do MPA é a sequência de entrada original (possui comprimento );$x$$|x|$
• Fita MPA é a representação da fita MPA: para cada célula, podemos usar 3 bits para armazenar o sinalizador principal, sinalizador de calhau e o conteúdo da fita (fixa) (com comprimento );$3|x|$
• curr_state armazena o estado atual do MPA (possui comprimento );$\log |x|$
• counter é o contador de etapas da simulação que é atualizado após cada etapa da simulação (tem comprimento ).$2|x|$

Se em etapas, o TM emitirá o oposto (se não interromper emitirá 0).$MPA_x$$4^{|x|}$$M$$M$

Para grande o suficiente , as etapas de simulação de são maiores queque é maior que o comprimento de uma descrição completa da configuração do ; dessa maneira, se o não parar em etapas, temos certeza de que ele fará um loop para sempre.$x > x_0$$4^{|x|}$$2^{|x|+2} |x| \log |x|$$MPA_x$$MPA_x$$4^{|x|}$

Suponha que exista um que decida o mesmo idioma de ; ele sempre será interrompido e você poderá criar um "maior" que decida o mesmo idioma com (basta adicionar estados dum).$MPA_y$$L$$M$$MPA_{y'}$$y'>x_0$

Por construção, temos, que é uma contradição.$MPA_{y'}(y') = 1 - M(y') = 1 - MPA_{y'}(y')$

Não. Contra-exemplo: o problema de parada para MPAs é decidível no espaço linear: se o MPA tiver N estados, precisaremos de | k | +2 bits de espaço para armazenar os locais dos seixos, registrar N bits para armazenar o estado atual e bits para armazenar um contador; se o contador alternar, a máquina simulada nunca será interrompida. Isso é linear em | k | (ignorando o espaço O (N \ log N) necessário para descrever a máquina), conforme necessário.$\log(N(|k|+2))+|k|+2$

Como essa linguagem é decidível no espaço linear, também é expressável como um DCSL.