Complexidade computacional da óptica quântica

Em "Requisito para computação quântica" , Bartlett e Sanders resumem alguns dos resultados conhecidos para computação quântica variável contínua na tabela a seguir:

Tabela de Bartlett e Sanders, 2003

MINHA pergunta é tripla:

Nove anos depois, a última célula pode ser preenchida?
Se uma coluna for adicionada com o título "Universal for BQP", como seria o restante da coluna?
A obra-prima de 95 páginas de Aaronson e Arkhipov pode ser resumida em uma nova linha?

quantum-computing

— Chris Ferrie
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A resposta de Chris Granade sugere que a linha KLM da coluna de medição seja "contagem de fótons, pós-seleção". Alguém sabe de antemão se os outros esquemas também exigem a pós-seleção?

— Chris Ferrie

Talvez seja uma pergunta estúpida, mas não é o fato de que você pode violar uma desigualdade de Bell com fótons únicos e detecção de homodino uma evidência de que a última entrada da tabela não é eficientemente simulável?

@ MateusAraújo - A evidência mais convincente de que a complexidade computacional não tem nada a ver com a localidade vem de dois fatos: (1) que o formalismo do estabilizador de qubit é classicamente eficientemente simulável pelo teorema de Gottesman-Knill, mas pode-se violar uma desigualdade de Bell com os estados do estabilizador; (2) o formalismo do estabilizador qutrit também é clássico de forma eficiente simulável, mas também é possível encontrar uma variável oculta local que o reproduza.

— 31730 Chris Ferrie

Arriscando prejudicar ainda mais sua pergunta, mas: é conhecido um sistema que possui um modelo de variável oculta local, mas que não é simulável com eficiência? Isso realmente me surpreenderia.

@ MateusAraújo - Acho que qualquer sistema caótico clássico serve, não?

— 22712 Chris Ferrie

Respostas:

Com relação à sua terceira pergunta, Aaronson e Arkhipov (A&A por brevidade) usam uma construção da computação quântica óptica linear muito intimamente relacionada à construção da KLM. Em particular, consideram o caso de fótons não interagentes idênticos em um espaço dos modos , iniciando no estado inicial $n$ $\text{poly}(n) \ge m \ge n$ Além disso, A & A permitir beamsplitters e phaseshifters, que são suficientes para gerar todos operadores unitários no espaço de modos (importante, porém, não no espaço de estado total do sistema). A medição é realizada contando o número de fótons em cada modo, produzindo uma tupla de números de ocupação de modo que e para cada

| 1_{n} ⟩ = | 1, \dots, 1, 0, \dots, 0 ⟩ (n 1s) .

$\left|1_n\right>=\left|1,\dots,1,\ 0,\dots,0\right>\quad (n\text{ 1s}).$

m \times m

$m\times m$

(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{m})

$(s_1, s_2, \dots, s_m)$

\sum_{i} s_{i} = n

$\sum_i s_i = n$

s_{i} \geq 0

$s_i \ge 0$

i

$i$ . (A maioria dessas definições pode ser encontrada nas páginas 18-20 de A&A.)

Assim, no idioma da tabela, o modelo A&A BosonSampling provavelmente seria melhor descrito como " fótons, óptica linear e contagem de fótons". Embora a eficiência clássica da amostragem desse modelo seja, a rigor, desconhecida, a capacidade de amostrar classicamente do modelo de A&A implicaria um colapso da hierarquia polinomial. Como qualquer colapso do PH é geralmente considerado extremamente improvável, não é exagero dizer que o BosonSampling provavelmente não é simulável de forma eficiente e clássica. $n$

$1/16^\Gamma$ $\Gamma$

Aaronson explora o caso da óptica linear pós-selecionada mais em seu artigo de acompanhamento sobre a dureza # P da permanente. Esse resultado foi comprovado anteriormente por Valiant, mas Aaronson apresenta uma nova prova baseada no teorema da KLM. Como uma observação lateral, acho que este artigo faz uma introdução muito agradável a muitos dos conceitos que a A&A usa em sua obra-prima BosonSampling.

— Chris Granade
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Ótima resposta! Portanto, os x na última coluna também devem ter uma nota de rodapé ou, mais precisamente, ser pontos de interrogação, pois não sabemos se P = BQP ou não?

— Chris Ferrie

Obrigado! A última coluna é, na melhor das hipóteses, hipotética, pois não temos uma prova de que P ≠ BQP. O resultado de A&A é um dos mais fortes que já vi para separar os cálculos clássico e quântico, pois fornece uma conseqüência teórica da complexidade concreta da existência de um simulador clássico eficiente. Talvez uma coluna mais descritiva seja "conseqüências de uma simulação clássica eficiente?"

— Chris Granade

Uma pergunta de acompanhamento que provavelmente merece uma pergunta por si só: você sabe se existe uma maneira natural de provar que a óptica linear por si só não é universal para o BQP? Ou existe uma barreira para provar isso (por exemplo, implicando outras coisas que não sabemos como mostrar, mas provavelmente ainda são verdadeiras)?

— Abhinav 29/01

$\cos^2(\frac\pi8)$

Eu acredito que é justo dizer que a última entrada na tabela é um "X" devido à Computação Quântica com Clusters Variáveis Contínuas por Gu et al . Eles mostram que estados de cluster não gaussianos podem ser afetados por medições homodinas para UQC.
A coluna hipotética "Universal para BQP" teria um "X" para a primeira linha e "verificações" para descanso - exceto a linha hipotética no resultado de Aaronson e Arkhipov, que teria um "?" (embora seja provavelmente um "X" de acordo com os autores).
Veja a resposta de Chris Granade acima.

UPDATE: Eu também deveria ter perguntado se novas linhas podem ser adicionadas. De qualquer forma, é possível: insira a descrição da imagem aqui

Isso é de Veitch et al . Veja também Mari e Eisert .

— Chris Ferrie
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