Equações mestre e formulário de soma do operador

12

Sou mais um cara de óptica quântica do que um cara de informação quântica e lida principalmente com equações mestras. Estou interessado na forma de soma do operador e gostaria de derivar os erros dessa forma para um pequeno sistema quântico que estou simulando.

O problema: o sistema quântico é acionado por um campo externo (clássico) modelado com uma função sinusoidal e as taxas de amortecimento são baixas, portanto não posso fazer uma aproximação de onda rotativa para eliminar essa dependência de tempo. Dado que devo resolver a equação mestre numericamente por integração, e o resultado de cada integração no tempo não é informação suficiente para descobrir esses erros, e preciso fazer algum trabalho para recuperar a matriz do superoperador que operou em uma densidade vetorizada matriz. ou seja, eu alimento a equação principal com uma matriz de densidade vetorizada com uma única entrada de 1 e o restante zero, e construo a matriz dessa maneira por um determinado tempo . Estou no caminho certo aqui (verificação de sanidade)? Mais explicitamente, se $t$ $\tau$ $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ é a forma vetorizada (portanto, é um vetor de coluna) de uma matriz de densidade com uma única entrada de 1 na posição , em que foi evoluída para o tempo ; em seguida, uma matriz para assumir a forma vetorial da matriz de densidade de a é dada como . $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

A pergunta: Dado esse superoperador que executa , como posso obter operadores Krauss para o soma do operador equivalente de que está em uma forma útil? ou seja, o sistema em questão é um qubit ou um qutrit e outro qubit ou qutrit. Eu gostaria de poder fazer a soma do operador na forma de produtos tensoriais de matrizes de spin em cada canal, se possível. $\mathbf{M}$ $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Pergunta Side: é uma matriz Choi? $\mathbf{M}$

Nota final: concordei com Pinja, pois usei o artigo que Pinja sugeriu. Eu mesmo forneci uma resposta que preenche os detalhes.

quantum-information

— qubyte
fonte

O que você quer dizer com "sistema em questão é um qubit ou um qutrit e outro qubit ou qutrit". - qual é o "outro sistema"? Você está falando sobre o ancilla necessário para implementar este canal usando unitários + rastreamento? Nesse caso, observe que a dimensão da ancilla pode ser de até D ^ 2, portanto, os qubits não funcionam.

— Norbert Schuch

Não, no momento é apenas um modelo de brinquedo que consiste em dois pequenos sistemas quânticos acoplados e com tempos T1 e T2 diferentes. A resposta a esta pergunta não é uma preocupação séria. É mais um ponto de interesse, pois pode ser útil saber mais sobre como fazer isso no futuro.

— qubyte

Posso migrar essa pergunta para a Teoria da CS, em vez da Física, por favor?

— qubyte

Bem ... acho que teria sido bom aqui, mas tudo bem.

— David Z

Obrigado. Desculpe, mas não é um grande fã de Physics.SE, e de qualquer maneira, acho que as questões de QI orientadas para a pesquisa se encaixam melhor aqui (depois de convencidas).

— qubyte

9

Eu trabalhei em um problema muito semelhante em minha tese de mestrado, na qual estudei a dinâmica não-markoviana de um qubit acionado em um ambiente dissipativo. Meu interesse era verificar se a equação principal que obtive foi completamente positiva, mas esse é apenas um lado do seu problema. A pergunta acabou sendo muito trivial se não fosse feita nenhuma RWA, mas consegui obter alguns resultados usando a referência [ J Mod. Optar. 54, 1695 (2007) ] e explorando o fato de que o qubit está fracamente acoplado ao meio ambiente. Vou bater meu tambor e também dar o Ref. para um artigo em que apresento alguns desses resultados, [P. Haikka e S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , você pode achar útil.

Ah! Acontece que estive olhando o jornal de Andersson há alguns dias. Parece muito promissor e fornece a receita mais concreta. Eu gosto de ter um método para aplicar a problemas. Para ser sincero, preciso encontrar um tempo para realmente me sentar e olhar para isso. É mais um projeto pessoal no momento.

— qubyte

7

As referências dadas em resposta à mecânica quântica como um processo de Markov - em particular as notas on-line de Carlton Caves " Mapas totalmente positivos, mapas positivos e a forma Lindblad " - pesquisam idéias físicas e ferramentas matemáticas que são úteis para responder à pergunta.

Um ponto chave está associado à pergunta específica "Como posso obter operadores Kraus para o equivalente na soma de operadores de que estão em uma forma útil?" Para grandes sistemas quânticos, um genérico superoperator vai não têm uma forma de algoritmos compressível. Além disso, as representações Kraus não são únicas e, até onde sei (não especialista), não existe procedimento geral e eficiente para encontrar representações Kraus de um determinado que tenham uma "forma útil" (por qualquer critério) são fornecidos para um formulário que é "útil"). Que decidir a separabilidade quântica é difícil para NP sugere que não existe um algoritmo eficiente e geral para encontrar representações, mesmo quando $M$ $M$ $M$ $M$ é numericamente dado em sua totalidade.

Para progredir, pode ser útil fazer perguntas heurísticas: "O que há de especial no meu superoperador em particular? Posso exibir um conjunto de geradores Lindbladianos que possuam propriedades de simetria úteis e / ou gerem fluxos compressivos compatíveis no espaço de estado de Hilbert? "Essas propriedades Lindbladianas estão associadas a uma base natural de Hilbert, na qual tem uma representação esparsa, fatorada ou algoritmo compressível de outra forma?" $M$

Se perguntas como essas pudessem ser respondidas com eficiência "girando uma manivela algorítmica", a física quântica seria um assunto muito menos interessante! :)

— John Sidles
fonte

Isso é basicamente o que eu esperava que não fosse o caso, mas pensei que seria. Infelizmente, o sistema só tem simetria explorável no caso de apenas desalfandegar sem despovoamento. Existe uma forma muito atraente da equação principal de Lindblad que coleta termos que não são da forma de Krauss em um Hamiltoninan não eremita, que, para o caso de nenhuma dependência de tempo no Hamiltoniano, pode ser usado para escolher uma base que expressa naturalmente a decadência como os termos restantes de Krauss. Legal, mas não ajuda para mim.

— qubyte

Uma das referências nas notas de Caves são os canais quânticos Wolf e Cirac Dividing (arXiv: math-ph / 0611057), que eu recomendo sem a menor garantia de ter compreendido pessoalmente os (muitos e sutis) problemas de informação quântica discutidos neste artigo! :)

Bom, vou dar uma olhada nisso. Uma coisa interessante que eu possivelmente deveria ter notado sobre a versão não derivada do sistema acima é que sua independência de tempo significa que você pode encontrar diretamente com exponenciação de matriz (não eficiente, mas esse sistema é pequeno o suficiente). Você também pode construir usando alguns operadores Krauss adivinhados, e algumas equações simultâneas mais tarde fornecem o mapeamento entre os dois, permitindo a extração de taxas de erro nos vários canais.

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

— qubyte

6

Eu acho que o que você pode estar procurando é o seguinte: The Real Density Matrix . Ele fornece uma receita para a conversão entre várias representações de superoperador (incluindo o uso de uma base de produto tensorial da Paulis). Um experimento detalhado de tomografia de processo quântico utilizando os resultados está aqui: Tomografia de Processo Quântico da Transformada Quântica de Fourier . De maneira mais geral, Havel também derivou algoritmos para converter em representações mínimas de Kraus aqui: Procedimentos para conversão entre representações Lindblad, Kraus e matrizes de semigrupos dinâmicos quânticos .

Edite para responder à pergunta adicionada: infelizmente, esta área é atormentada por notações e convenções inconsistentes. No entanto, darei a você o que me parece mais natural. Então, deixe-me considerar como a operação de pegar as linhas de e empilhá-las umas sobre as outras. Isso é vez de , que seria "empilhamento de colunas" (mas! Isso obviamente depende da sua convenção para o produto Kronecker - aqui estou pegando o segundo índice para "variar mais rapidamente"). Em vez disso, vamos definir a convenção "empilhamento de colunas" como ${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ . Agora, nenhuma das matrizes que atuam como ou são a matriz "Choi". A matriz Choi é definida como ou, equivalentemente Observe que, como todas essas representações são definidas em termos de base , a transformação entre elas é apenas uma permutação. ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
fonte

Isso é interessante, pode ser exatamente o que estou procurando ...

— qubyte

Acabei de ver sua adição. Obrigado, isso é muito útil. Originalmente, tirei sua versão do vec, mas agora uso as colunas empilhadas. Agradeço à Wikipedia por esse. Talvez eu deva adotar sua anotação para maior clareza.

— qubyte

4

Como Pinja observou, um artigo de Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) tem sido especialmente útil. O artigo entra em muitos detalhes, e eu finalmente me sentei hoje para dar uma boa olhada nele. Como um exemplo de problema, escolhi dois qubits com uma interação de troca para verificar isso, que é uma versão mínima do que estou considerando. Para começar, a equação principal é dada por

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

O método requer que os operadores básicos do sistema sejam escolhidos. É conveniente fornecer isso em termos das matrizes de Pauli no caso de dois qubits, mas, para um qutrit, empregaria as matrizes de Gell-Mann. Definindo para cada qubit, este sistema possui uma base construída dos produtos tensores destes com um fator de para normalização, resultando em 16 operadores por exemplo. . Ficar com operadores hermitianos também mantém as coisas legais, pois alguns punhais podem ser negligenciados. $\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

Uma matriz especial agora é composta chamada , que está relacionada à equação principal. $L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Se estivermos lidando com a equação mestre como uma matriz que atua em um operador de densidade vetorizada conforme discutido na pergunta, isso pode ser expresso como

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

que permite derivar L em uma única equação de matriz, mas isso está ficando um pouco fora do tópico.

No caso de amostra que considerei, é não contém termos que variam no tempo, portanto, pode ser exponenciada para obter uma nova matriz , que está relacionada à solução da equação principal $L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ pode ser usado para obter uma matriz Choi , que é exatamente o que eu preciso. Neste ponto, é necessário escolher uma base para os futuros operadores da Krauss. Estou muito feliz com os operadores Pauli, por isso vou ficar com os da próxima equação, $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Finalmente, a parte maravilhosa.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

Como você pode ver, é uma matriz de pesos para uma soma de superoperadores em uma base útil que eu posso selecionar. Isso foi referido como a matriz do processo ( arXiv ) ( DOI ), que é exclusiva para um processo em uma determinada base. No caso da amostra, em que a equação mestre não possui termos dependentes de tempo no RHS, a solução pode ser verificada diretamente representando na forma de matriz e exponenciando-o para obter . $S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Isso funciona no caso independente de tempo para quits e qutrits conforme o esperado. Preciso verificar se isso funciona no caso de dependência de tempo.

— qubyte
fonte