A aleatoriedade nos compra alguma coisa dentro de P?

Seja a classe dos problemas de decisão que possuem um algoritmo aleatório delimitado com erro de dois lados, executando no tempo . $\mathsf{BPTIME}(f(n))$ $O(f(n))$

Conhecemos algum problema tal que mas ? A sua inexistência é comprovada? $Q \in \mathsf{P}$ $Q \in \mathsf{BPTIME}(n^k)$ $Q \not \in \mathsf{DTIME}(n^k)$

Esta pergunta foi feita no cs.SE aqui , mas não obteve uma resposta satisfatória.

— aelguindy
fonte

(1) BPP (f (n)) é geralmente indicado como BPTIME (f (n)). (2) Na configuração da complexidade computacional, acredito que isso esteja aberto. (Muitos exemplos são conhecidos nas configurações de complexidade da consulta e da complexidade da comunicação.) (3) Se sua inexistência já estivesse comprovada, já saberíamos que P = BPP.

— Tsuyoshi Ito

A propósito, na pergunta em cs.stackexchange.com, você tem algum mal-entendido sobre a relação entre BPTIME e ZPTIME, e isso pode ser parte do motivo pelo qual você não recebeu uma resposta satisfatória.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto Obrigado, eu não concordo que se provar inexistência então sabemos

, estou restringindo a configuração para problemas em

. Talvez,

, enquanto

P = B P P

$P=BPP$

P

$P$

B P T I M E (n^{k}) \cap P = D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \cap P = DTIME(n^k)$

em geral, estou perdendo alguma coisa? Você também pode agradar a ponto do meu mal-entendido sobre

, talvez eu perdi uma resposta satisfatória, na verdade ..

B P T I M E (n^{k}) \neq D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \neq DTIME(n^k)$

B P T I M E

$BPTIME$

Z P T I M E

$ZPTIME$

— aelguindy

Sua pergunta não diz que você restringe o problema Q para estar dentro de P. Se essa é sua intenção, edite-a.

— Tsuyoshi Ito

Para aproximar a mediana 1 de um espaço métrico finito com poucas consultas à função de distância, um ponto aleatório fornece uma aproximação 2 em expectativa e uma aproximação (2 + eps) com boa probabilidade. Mas nenhum algoritmo determinístico que consulta a função de distância

vezes pode fazer melhor do que uma aproximação de 4. [ Chang 2013 ]

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Neal Young

Respostas:

Outro exemplo é estimar o volume de um poliedro em altas dimensões. Existe um limite inferior incondicional nas estratégias determinísticas para aproximar o volume até um fator exponencial, mas há um FPRAS para o problema.

Atualização: o documento relevante é (link para PDF ):

I. Barany e Z. Furedi. A computação do volume é difícil, Discrete and Computational Geometry 2 (1987), 319-326.

— Suresh Venkat
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Você poderia fornecer referência para o limite inferior incondicional?

— T ....

referência adicionada.

— Suresh Venkat

Problema : Uma matriz consiste em 1s e 0s. Encontre um tal que seja 1. $A[1..2n]$ $n$ $n$ $i$ $A[i]$

Você tem permissão para consultar 'Qual número está presente em '? Cada consulta leva tempo constante. $A[i]$

Solução : Algoritmo Aleatório: Escolha um índice aleatório verifique se é 1. O número esperado de consultas é 2, mas qualquer algoritmo determinístico deve fazer pelo menos consultas. Portanto, o limite superior aleatório é estritamente melhor que o limite inferior determinístico neste modelo. $i$ $A[i]$ $n$

Este é um exemplo da complexidade da consulta a que Tsuyoshi estava se referindo no comentário.

— Jagadish
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Qualquer algoritmo determinístico deve fazer pelo menos

consultas no pior caso .

n

$n$

— Argentpepper

O que você quer dizer com "atualmente não conhecemos nenhuma prova não trivial de limite inferior para qualquer problema no NP (e muito menos em P)"?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Talvez eu tenha usado a palavra 'não trivial' desleixada. Eu quis dizer 'Atualmente, não podemos provar um limite inferior incondicional de

para

para SAT ou qualquer problema no NP'. Isso está correto?

Ω (n^{k})

$\Omega(n^k)$

k > 0

$k>0$

— Jagadish

Bem, talvez não por problemas "agradáveis", como o SAT; mas lembre-se de que temos limites inferiores para outros problemas dos teoremas da hierarquia de tempo. E a pergunta não é sobre problemas "legais", mas sobre classes de complexidade.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Ah, certo. Supus que o OP estivesse interessado em problemas naturais. Eu editei minha resposta.

— Jagadish

Dado um matriz de compensação por uma matriz de soma-zero com pagamentos em [0,1], estimar o valor de jogo dentro de um aditivo . $n\times n$ $\epsilon$

Esse problema possui um algoritmo aleatório que é executado no tempo , que (provavelmente) nenhum algoritmo determinístico pode corresponder a [ GK95 ]. $O(n\log^2(n)/\epsilon^2)$

Veja também Algoritmos aleatórios eficientes e simples, onde o determinismo é difícil .

— Neal Young
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