Complexidade assintótica da classificação usando comparações k

A classificação usando comparações de dois elementos tem uma complexidade assintótica de pior caso de (alcançada por mergesort, heapsort, inserção binária, ford-johnson, pelo menos), o que é ideal. $n \log_2(n)$

Se classificarmos usando comparações que classificam k elementos como blocos de construção, o limite inferior da teoria da informação é . Podemos facilmente alcançar com a inserção do k-ário. $n \log_{k!}(n)$ $n \log_k(n)$

Pergunta: Onde está a complexidade ideal entre e ? $n \log_k(n)$ $n \log_{k!}(n)$

Refs apropriados também seriam apreciados.

Edit: porque não estava claro:

Estou interessado na complexidade em , com . Possui o comportamento assintótico de com Ei gostaria de mais precisão sobre . $n$ $k=O(1)$ $\alpha n\log_2(n)$ $\alpha \in [\frac{1}{\log_2(k)},\frac{1}{\log_2(k!)}]$ $\alpha$

— slan_21
fonte

Como me disseram Abhishek Methuku, isso já foi estudado, de fato várias vezes, veja, por exemplo, http://www.researchgate.net/publication/3042594_Sorting_n_objects_with_a_k-sorter

Para large, a resposta está próxima de mas, por exemplo, parece estar aberto. $k$ $n \log_{k!}(n)$ $k=3$

— domotorp
fonte

Primeiro, vamos trazer aqueles para o que eu acho que é a forma correta de se olhar.

$\Theta\left(n\cdot \log_k(n)\right) \: = \: \Theta\left(n\cdot \frac{\log_2(n)}{\log_2(k)}\right) \: = \: \Theta\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}{\log_2(k)}\right)$

$\Theta\left(n\cdot \log_{k!}(n)\right) \: = \: \Theta\left(n\cdot \frac{\log_2(n)}{\log_2(k!)}\right) \: = \: \Theta\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}{k\cdot \log_2(k)}\right)$

Observe que uma comparação -ary é suficiente para comparações simultâneas (binárias). $k$ $\: \left\lfloor \frac{k}2 \right\rfloor \:$

Para ,. $\: 2\leq k \:$ $\:$ $\;\; \left\lfloor \frac{k}2 \right\rfloor \: \in \: \Theta(k) \;\;$

Pela rede AKS , para , comparações são suficientes para -ary ordenar. $\: 2\leq k\leq O(n) \:$ $\:$ $O\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}k\right)$ $k$

Quando , comparação -ary é suficiente para classificar. $\: n\leq k \:$ $\:$ $1 \:\: k$ $\quad$ $1\in O\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}k\right)$

Portanto, para , comparações -ary são suficientes para classificar. $\: 2\leq k \:$ $\:$ $O\left(\frac{n\cdot \log_2(n)}k\right)$ $k$

$5$ $k$ comparações -ary são suficientes para um -ary comparação. $\: \left(4\cdot \left\lfloor \frac{k}2 \right\rfloor \right)$ $\:$

Para , comparações -ary são suficientes para uma $\: 4\leq k \:$ $\:$ $5\:\:k$ -arycomparação. $\: \left(\frac32 \cdot k\right)$ $\:$

Para , . $\: 2\leq k\leq n \:$ $\:$ $\log_{\frac32}\left(\frac{n}k\right) = \frac{\log_2\left(\frac{n}k\right)}{\log_2\left(\frac32\right)} \:$

Para , comparações ar são suficientes para classificar. $\: 2\leq k\leq n \:$ $\:$ $5^{\left\lceil \frac{\log_2\left(\frac{n}k\right)}{\log_2\left(\frac32\right)} \right\rceil}$ $k$

Para , pelo menos um comparação -ary é necessário para classificar. $\: 2\leq n \:$ $\:$ $k$

Portanto, para e , triagem leva exactamente comparações -ary. $\: 2\leq k\leq n \:$ $\: \frac{n}k \in O(1) \:$ $\:$ $\Theta(1)$ $k$

Suspeito que alguém possa refinar a segunda das minhas duas
conclusões para mostrar que seu limite inferior é alcançado.

Não é o que eu tinha em mente, mas ainda assim agradável. Estou interessado na complexidade em , com . Possui o comportamento assintótico de com E eu gostaria de mais precisão sobre . Sobre o seu ponto de vista, acho que você não alcançará o limite inferior dessa maneira, porque que não fará isso.

n

$n$

k = O (1)

$k=O(1)$

α n l o g_{2} (n)

$\alpha nlog_2(n)$

α \in [\frac{1}{l o g_{2} (k)}, \frac{1}{l o g_{2} (k!)}]

$\alpha \in [\frac{1}{log_2(k)},\frac{1}{log_2(k!)}]$

α

$\alpha$

5^{\frac{\log_{2} (\frac{n}{k})}{\log_{2} (\frac{3}{2})}} = O ((\frac{n}{k})^{\frac{l o g_{2} (5)}{l o g 2 (\frac{3}{2})}})

$5^{\frac{\log_2\left(\frac{n}k\right)}{\log_2(\frac32)} } = O((\frac{n}{k})^{\frac{log_2(5)}{log2(\frac32)}})$

— slan_21

Eu estava indo para interpretá-lo dessa forma antes de eu percebi que, tanto quanto eu posso encontrar, constante ideal não é conhecido até mesmo para .

$\hspace{1.2 in}$

k = 2

$\: k = 2 \:$

$\;\;$

Agora percebo que o uso da base no primeiro logaritmo que você escreve pode abordar o meu ponto. O número ideal de comparações binárias é dividido por conhecido por convergir para ?

2

$2$

$\hspace{0.3 in}$

n \cdot \log_{2} (n)

$\: n\cdot \log_2(n) \:$

1

$1$

Sim, para o número ideal de comparações dividido por converge para 1. Muitos algoritmos conseguem isso, sendo o mais fácil provavelmente a inserção binária (que precisa de comparações).

k = 2

$k=2$

n \log_{2} (n)

$n\log_2(n)$

\sum_{i = 2}^{n} ⌈ \log_{2} (i) ⌉ \sim n \log_{2} (n)

$\sum_{i=2}^{n} \lceil{\log_2(i)}\rceil \sim n\log_2(n)$

— 21133 Slan_21