Uma versão simplificada do jogo de cartas Winner

Eu pedi esse problema no MathOverflow , sem nenhuma resposta satisfatória.

Considere o seguinte jogo para dois jogadores, que é uma simplificação do jogo de cartas chamado Winner . (A formulação a seguir foi retirada de um comentário de Guillaume Brunerie no MathOverflow.)

Existem dois jogadores A e B. Cada jogador tem um conjunto de cartas (um subconjunto de $\{1,\dots,n\}$ ) visível dos dois jogadores. O objetivo do jogo é se livrar de seus próprios cartões. O primeiro jogador joga qualquer carta na mesa, então o outro jogador deve jogar uma carta (estritamente) maior, e assim sucessivamente até que um dos jogadores não possa jogar ou decida passar. Em seguida, as cartas na mesa são descartadas e o outro jogador começa novamente jogando qualquer carta (que será seguida por uma carta maior). E assim por diante até que um dos dois jogadores fique sem cartas e vença o jogo.

Quero saber a melhor estratégia para os jogadores (se ele pode ganhar).

Definição formal

Denote por a configuração do jogo em que o conjunto das cartas do primeiro jogador é , o conjunto das cartas do segundo jogador é e a maior carta da mesa é , onde significa que não há cartão na mesa. Eu gostaria que um algoritmo calculasse, dado , se o primeiro jogador tem uma estratégia vencedora na configuração . $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

Formalmente, eu gostaria de um algoritmo para calcular a função definida da seguinte maneira: $f$

Deixe , . $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

Função $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

onde

f (i, A, B) = {\begin{cases} F a l s e & B = \emptyset \\ T r u e & B \neq \emptyset \land \exists j \in A : j > i, f (j, B, A - {j}) = F a l s e \\ T r u e & B \neq \emptyset \land f (0, B, A) = F a l s e \\ F a l s e & otherwise \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

Estratégias erradas

Aqui estão algumas estratégias erradas:

Sempre jogue a menor carta. Seja , a estratégia vencedora para o jogador A na configuração é jogar o cartão . Se o jogador A jogar o cartão 1, ele perderá. $n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
Jogue a menor carta, a menos que o outro jogador tenha apenas uma carta. É uma estratégia mais forte que a estratégia 1, mas também está errada. Pense apenas na configuração . Se o jogador A usar a estratégia 2, ele perderá: , portanto o jogador A perde. $w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— Yai0Phah
fonte

Esta questão é interessante, mas tente torná-la o mais legível possível. Por exemplo, você não precisa copiar o comentário de Guillaume Brunerie literalmente, incluindo a parte “Eu acho que é A que deve ser conhecida pelo jogador…”, que é diferente da suposição em sua pergunta e só pode confundir os leitores. Além disso, considere remover a primeira formulação das três: a segunda formulação fornece uma compreensão intuitiva, a terceira uma definição formal e eu não acho que a primeira sirva a algum propósito.

— Tsuyoshi Ito

Possivelmente, a melhor maneira de analisar isso é escrever um programa que calcule os movimentos ideais para qualquer posição e procure padrões. Não existe uma razão a priori para que este jogo tenha uma boa estratégia.

— Peter Shor

Eu começaria uma estratégia com um pequeno número de cartões e trabalharia a partir daí. Por exemplo, se cada jogador tiver 2 cartas, o jogador que tiver a carta mais alta ganha, independentemente de qual jogador tenha o próximo turno. Ele joga a carta mais alta, o outro jogador deve passar e, em seguida, ele joga sua última carta.

— 21412 Joe

Alguém pode me ajudar a redescrever a descrição do GB para seguir o postscript 1? Sinto muito por não ser um falante nativo e descrever um jogo tão complexo está fora da minha capacidade.

— precisa saber é o seguinte

@ Tsuyoshi: Se o jogador A sempre joga a menor carta, o jogador B vence. Se o jogador A jogar a carta 1 e nem sempre jogar a menor carta, o jogador A poderá ganhar. Isso significa que há um contra-exemplo menor para a estratégia 2 sempre vencendo.

— Peter Shor

Provavelmente isso deve ser um comentário, mas é muito longo.

Um jogo relacionado foi estudado por Jeff Kahn, Jeff Lagarias e Hans Witsenhausen, na série de artigos Jogo de Cartas para Duas Pessoas de Naipe Simples I, II, III e No Jogo de Cartas de Laskar. No jogo que estudaram, cada jogador tem cartas, distribuídas a partir de cartas numeradas . Cada truque consiste em duas cartas, a carta mais alta vence o truque e o vencedor lidera. O objetivo é fazer o máximo de truques. $n$ $2n$ $1$ $\ldots$ $2n$

Eles provaram uma série de fatos interessantes sobre a estratégia ideal, mas não conseguiram encontrar um algoritmo eficiente para o jogo ideal e também não conseguiram provar que era difícil para o NP.

Para o jogo misère , onde cada pessoa tenta fazer o menor número possível de truques, foi capaz de dar a melhor estratégia.

Na maioria dos casos, esses resultados foram obtidos analisando primeiro os resultados de um programa de computador que encontrou a estratégia ideal para pequenas instâncias, depois procurando padrões para obter conjecturas e, finalmente, provando essas conjecturas. Eu suspeito que essa também seria uma abordagem proveitosa a ser adotada no jogo do OP.

— Peter Shor
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