Que tipo de autômato é o Turing Doodle do Google?

Em comemoração ao aniversário de Alan Turing, o Google publicou um doodle mostrando uma máquina. Que tipo de máquina é o doodle? Ele pode expressar um idioma completo de Turing?

Existem diferenças óbvias na máquina de turing clássica: uma fita finita, restrições de como o estado pode ser conectado, ...

O doodle ainda está disponível aqui Captura de tela do doodle

(O visor no canto superior direito mostra a saída esperada.)

A fita no meio é dividida em quadrados que podem conter um espaço em branco, um zero ou um. A cabeça está posicionada acima de um dos quadrados e é usada para leitura e escrita.

Abaixo da fita, você pode ver uma seta verde na qual você pode clicar para iniciar a máquina. Existem duas linhas de círculos ao lado, algumas das quais estão conectadas. Vou chamá-los de "estados".

Depois que a máquina inicia, o primeiro estado à direita do botão verde acende, depois o próximo à direita e assim por diante ... Cada estado contém um dos seguintes comandos:

em branco = não fazer nada (basta passar para o próximo estado)
1 = escreva um na fita na posição atual da cabeça
0 = escreve um zero na fita na posição atual da cabeça
seta para a esquerda = mova a cabeça um passo para a esquerda
seta para a direita = mova a cabeça um passo para a direita
condição: se o valor abaixo da cabeça for igual ao valor mostrado no quadrado, desça para a segunda linha de estados. caso contrário, vá para o próximo estado à direita
salto esquerdo: retorne ao estado anterior (fixo), mas apenas na linha superior [originalmente eu esqueci esse, obrigado @Marzio!]

Não há como "sobrepor" dois saltos (um sobre o outro). A máquina para quando sai de um estado e não existe um próximo estado à sua direita.

(Após a máquina parar, o conteúdo da fita é comparado ao conteúdo da tela, mas não considero que isso faça parte da funcionalidade pretendida da máquina.)

cc.complexity-theory turing-machines

— bjelli
fonte

Uma máquina de Turing, é claro! pt.wikipedia.org/wiki/Turing_machine Talvez você estivesse confuso porque o sistema de transição é descolado.

— precisa

Há também um "operador de salto esquerdo" no mecanismo de controle que permite retornar à posição anterior, mas apenas na linha superior; além disso, não há como "sobrepor" dois saltos (um sobre o outro). Sem o operador de salto, a máquina é equivalente a um DFA (as ações no mecanismo de controle são "executadas" da esquerda para a direita), mas também com o operador de salto esquerdo limitado , a máquina parece não ser suficientemente poderosa para simular um LBA (mas eu não não pense muito nisso). Em todos os casos, não pode ser Turing completo porque a fita é finita.

— Marzio De Biasi

@Marzio De Biasi: Você está certo que este quebra-cabeça contém instruções de salto e, sem elas, o modelo é obviamente muito fraco, porque uma máquina só pode funcionar por um tempo constante. (Não sei ao certo o que você quer dizer com “equivalente a um DFA”.) Que restrição você coloca nas instruções de salto pode alterar a resposta. "A fita é finita" é provavelmente uma suposição incorreta.

— Tsuyoshi Ito

O Google mantém seus doodles disponíveis (embora aparentemente nem sempre as versões interativas).

— Raphael

@TsuyoshiIto: Quero dizer (mas talvez eu esteja errado) que, dada uma máquina sem loops, você pode criar um DFA que simule. Se você permitir saltos arbitrários em ambas as direções e que possam se sobrepor, a máquina estará imediatamente "completa" (assumindo uma fita infinita), mesmo com apenas duas linhas (os estados podem ser "achatados" horizontalmente). Não sei o que acontece se você permitir saltos à esquerda que possam se sobrepor (mas apenas na primeira linha) e um número arbitrário de linhas (mas o controle nas linhas inferiores pode ser apenas para cima ou para baixo). Talvez seja uma boa pergunta para cs.stackexchange.com

— Marzio De Biasi

Respostas:

Assumindo que:

podemos adicionar um número arbitrariamente grande de linhas ("linhas de status")
as linhas podem ser arbitrariamente longas
a fita é infinita

Tentei criar uma configuração de máquina Doodle de Alan Turing que emula a máquina descrita em " Máquinas pequenas de Turing e competição generalizada de castores ocupados " que tem um problema de parada que depende de um problema aberto (como eu sei) de Collatz. A imagem completa está disponível aqui . $M_4$

atdoodle

... portanto, mesmo que o Doodle do AT talvez não seja Turing completo (devido ao operador de salto esquerdo não sobreposto disponível apenas na primeira linha), ele é poderoso o suficiente para percorrer a linha fina da (des) decidibilidade: - D

EDIT: TURING DOODLE ESTÁ COMPLETO

(Deixo a resposta anterior acima, porque não tenho certeza de que esta parte esteja correta :-)

Eu acho que mesmo com um único salto esquerdo sem sobreposição, o Turing Doodle é Turing completo! . A idéia (simples) é usar a própria fita para armazenar o estado atual e usar várias células para representar um alfabeto maior.

Por exemplo, 2 estados e 8 símbolos TM podem ser simulados usando a seguinte representação em fita:

    HEAD POSITION
    v
...[s][b2 b1 b0] [_][b2 b1 b0] [_][b2 b1 b0] ....
   ^^^^^^^^^^^^^
    "macro cell"

O doodle de Turing pode:

$s$
$b2, b1, b0$
escreva o próximo símbolo, mova a cabeça para a "célula macro" à esquerda ou à direita e armazene nela o próximo estado; na figura abaixo, essas operações (que podem ser feitas em uma sequência de células usando as ações mover para a esquerda / direita e escrever) são chamadas de "MW";
finalmente, transfira o controle para a linha superior que, com um único salto à esquerda, o controle retornará à etapa 1.

A imagem completa está disponível aqui .

TdoodleTC

$TM$ $DM$

— Marzio De Biasi
fonte

nooo! Você chegou antes de mim! Eu estava escrevendo como fazer uma TM arbitrária no espaço de estados, em vez de fita. No entanto, sua abordagem é melhor, pois usa apenas um salto. Bem feito! Aguarde, como sua máquina recebe entrada?

— Artem Kaznatcheev

@ marzio-de-biasi Bom trabalho!

— pepper_chico

@ArtemKaznatcheev: recebe entrada na fita; obviamente, você deve codificá-lo de acordo com os símbolos do alfabeto original da MT que você está emulando e deixar espaços em branco para a representação do estado.

— Marzio De Biasi

A marca do júnior alen turing . Gostei de ler isso

— iDroid

não totalmente convencido quanto à completude da TM. não pense que você lidou com o caso em que a TM grava em novos quadrados em branco não definidos anteriormente na fita de entrada. isso é necessário para a integridade da TM, caso contrário, é apenas um cálculo finito.

— vzn

A máquina é fornecida com uma “fita” (o análogo do papel) passando por ela e dividida em seções (chamadas “quadrados”), cada uma capaz de exibir um “símbolo”. A qualquer momento, existe apenas um quadrado, digamos o r-ésimo, com o símbolo S (r) que está “na máquina”. Podemos chamar esse quadrado de “quadrado digitalizado”. O símbolo no quadrado digitalizado pode ser chamado de "símbolo digitalizado". O “símbolo digitalizado” é o único dos quais a máquina está, por assim dizer, “diretamente consciente”. No entanto, alterando sua configuração m, a máquina pode efetivamente lembrar alguns dos símbolos que “viu” (digitalizados) anteriormente. O possível comportamento da máquina a qualquer momento é determinado pela configuração m qn e pelo símbolo digitalizado S (r). Este par qn, S (r) será chamado de "configuração": assim, a configuração determina o possível comportamento da máquina. Em algumas das configurações nas quais o quadrado digitalizado está em branco (ou seja, não possui símbolo), a máquina anota um novo símbolo no quadrado digitalizado: em outras configurações, ele apaga o símbolo digitalizado. A máquina também pode alterar o quadrado que está sendo digitalizado, mas apenas deslocando-o um lugar para a direita ou esquerda. Além de qualquer uma dessas operações, a configuração m pode ser alterada. Alguns dos símbolos escritos {232} formarão a sequência de números que é o decimal do número real que está sendo calculado. Os outros são apenas notas brutas para "ajudar a memória". Somente essas notas ásperas poderão ser apagadas. não possui símbolo) a máquina anota um novo símbolo no quadrado digitalizado: em outras configurações, apaga o símbolo digitalizado. A máquina também pode alterar o quadrado que está sendo digitalizado, mas apenas deslocando-o um lugar para a direita ou esquerda. Além de qualquer uma dessas operações, a configuração m pode ser alterada. Alguns dos símbolos escritos {232} formarão a sequência de números que é o decimal do número real que está sendo calculado. Os outros são apenas notas brutas para "ajudar a memória". Somente essas notas ásperas poderão ser apagadas. não possui símbolo) a máquina anota um novo símbolo no quadrado digitalizado: em outras configurações, apaga o símbolo digitalizado. A máquina também pode alterar o quadrado que está sendo digitalizado, mas apenas deslocando-o um lugar para a direita ou esquerda. Além de qualquer uma dessas operações, a configuração m pode ser alterada. Alguns dos símbolos escritos {232} formarão a sequência de números que é o decimal do número real que está sendo calculado. Os outros são apenas notas brutas para "ajudar a memória". Somente essas notas ásperas poderão ser apagadas. Alguns dos símbolos escritos {232} formarão a sequência de números que é o decimal do número real que está sendo calculado. Os outros são apenas notas brutas para "ajudar a memória". Somente essas notas ásperas poderão ser apagadas. Alguns dos símbolos escritos {232} formarão a sequência de números que é o decimal do número real que está sendo calculado. Os outros são apenas notas brutas para "ajudar a memória". Somente essas notas ásperas poderão ser apagadas.

É minha opinião que essas operações incluem todas as que são usadas no cálculo de um número. A defesa dessa afirmação será mais fácil quando a teoria das máquinas for familiar para o leitor. Na próxima seção, portanto, prossigo com o desenvolvimento da teoria e assumo que seja entendido o que se entende por "máquina", "fita", "digitalizado" etc.

Este é um trecho do artigo original de Turing "Sobre números computáveis, com uma aplicação ao problema Entscheidung".

Um bom companheiro moderno do artigo que recomendo é The Annotated Turing, de Charles Petzold.

Como você pode ver, o Google apenas tentou se parecer com uma máquina muito semelhante à descrição de Turing.

Edição: Assumindo que o alfabeto completo do Google TM é o mostrado no final do jogo, depois de clicar no ícone do coelho , e tirando o fato de que está produzindo uma sequência infinita , obtém mais linhas e colunas (então podemos assumir que podemos adicionar qualquer ), deixou saltos à esquerda (e também sobrepôs saltos à esquerda) em qualquer linha , tem salto condicional e incondicional entre linhas adjacentes, acho que é Turing completo .

— pepper_chico
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mas eles implementaram de maneira aguda uma máquina de turing? este tem uma fita finita, então essa é uma diferença facilmente discernível. é uma diferença que faz a diferença? eles de fato implementaram uma máquina mais fraca?

— bjelli

@bjelli Bem, não posso garantir isso porque, como ainda não o projetei, não conheço todas as regras sobre sua máquina. Mas, se você chegar à final do jogo, poderá clicar no ícone Bunny, que leva a uma fita mais longa, verifique a análise aqui: sbf5.com/~cduan/technical/turing . Portanto, pode não haver restrições quanto ao número de linhas que a máquina pode obter, o que levaria a uma fita de qualquer tamanho.

— pepper_chico

plz esboçar uma prova de que a sua Turing completa

— vzn

Nos quebra-cabeças, saltos são permitidos nas duas linhas, mas não podem se sobrepor. No doodle final da sequência de coelhos no final do jogo, eles permitem saltos em todas as linhas e podem ser aninhados entre colchetes , e [()] é permitido, mas ([)] parece não ser permitido.

Usarei as seguintes suposições:

$0$ $1$ $\epsilon$
A máquina pode usar qualquer número fixo de linhas
Saltos à esquerda são permitidos em qualquer linha (usarei um salto à esquerda por linha)
$\epsilon$ $0$ $1$

Com essas suposições, o Google Doodle Machine é Turing Complete .

$0$ $1$ $\epsilon$ $0$ $1$ $n$

$3(n - 1) + 1$ $5n + 1$

Google Doodle Machine

$\epsilon$ $0$ $1$ $\epsilon$ $0$ $1$ $0$ $1$

O GDM simula a TM da seguinte maneira:

$1$
$j$
$\epsilon$ $0$ $1$
$\epsilon$
$0$ $1$
$0$ $1$

Escolha sua TM universal favorita e implemente-a no procedimento acima para obter um GDM universal.

— Artem Kaznatcheev
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