Limites inferiores para fórmulas de profundidade constante?

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Sabemos muito sobre as limitações dos circuitos de profundidade constante (tamanho polinomial). Como as fórmulas de profundidade constante (tamanho polinomial) são um modelo de computação ainda mais restrito, todos os problemas que não se encontram no AC ⁰ também não são computáveis por uma fórmula de profundidade constante. No entanto, como é um modelo mais fácil, suponho que haja mais problemas conhecidos por não serem computáveis nesse modelo. Isso foi estudado? (Acho que sim, mas provavelmente não estou usando os termos de pesquisa corretos.)

Especificamente, estou interessado na seguinte pergunta: Existe alguma função f, que pode ser calculada por um circuito AC ⁰ de tamanho S, mas precisa de uma fórmula de profundidade constante de tamanho pelo menos quadrática em S ou super polinomial em S? Qual é o resultado mais conhecido desse tipo?

Caso não esteja claro o que quero dizer com fórmula de profundidade constante, quero dizer uma fórmula que, se você escrever como uma árvore (com nós internos sendo portas AND / OR / NOT e folhas sendo entradas), essa árvore terá constante altura. Equivalentemente, uma fórmula de profundidade constante é um circuito de profundidade constante em que todos os portões que não são de entrada têm fanout 1.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Robin Kothari
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É fácil converter um circuito de profundidade constante em uma fórmula de profundidade constante da mesma profundidade com aumento do tamanho polinomial, fazendo cópias dos portões usados mais de uma vez. Se a profundidade do circuito for e seu tamanho for , a fórmula terá profundidade e tamanho . Portanto, a resposta é não. $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Kaveh
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isso dá mais do que um aumento quadrático no tamanho. (Embora, não super-polinomial aumento, é claro.)

— Ido Tzameret

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Obrigado pela resposta. Alguma idéia sobre uma função específica f que possui um circuito de profundidade constante do tamanho S, mas precisa de uma fórmula do tamanho S ^ 2, ou S ^ 10, etc.?

— precisa

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Eu acho que a relação entre profundidade e tamanho do circuito ainda está aberta (sabe-se que "profundidade" é teta do tamanho da fórmula). Veja os capítulos 7 e 8 no livro Wegener, "Complexidade das funções booleanas", para alguma função com limites explícitos no tamanho da fórmula. Há um com aumento quase quadrático (

), que não percebeu nada melhor.

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— Kaveh

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Esta questão foi completamente resolvida (até fatores constantes) por um resultado recente de Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ).

Como Kaveh aponta acima, um circuito de profundidade , tamanho , pode ser convertido em uma fórmula de profundidade , tamanho . $d$ $S$ $d$ $S^d$

Rossman mostra que isso é essencialmente apertado. Para qualquer profundidade , ele exibe uma função que pode ser calculada por um circuito de profundidade constante de profundidade e tamanho , mas qualquer fórmula de profundidade constante (ou mesmo um $d$ $d$ $S = O(n^3)$ -phthth formula) precisa do tamanho para computá-lo. $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(Esqueceu-se de dizer isso antes: obrigado a Benjamin Rossman por me informar sobre esse resultado.)

— Robin Kothari
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