Uma pergunta sobre extensões lineares de pedidos parciais


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Se você receber uma coleção de pedidos parciais, a classificação topológica informará se há uma extensão da coleção para um pedido total (uma extensão nesse caso é um pedido total consistente com cada um dos pedidos parciais).

Eu me deparei com uma variação:

Fixar um conjunto . Você recebe sequências σ 1 , σ k de elementos desenhados a partir de V sem repetição (as seqüências têm comprimento entre 1 e | V | ).Vσ1,σkV|V|

Existe uma maneira de fixar orientações para cada uma das seqüências (para frente ou para trás) para que a coleção resultante de cadeias (vista como uma ordem parcial) admita uma extensão?

Esse problema é conhecido?

Nota: A orientação é escolhida para uma sequência inteira. Portanto, se a sequência for , você pode mantê-la assim ou alternar para 5 - 4 - 2 - 1 , mas não pode fazer mais nada.12455421


1
Se cada uma das seqüências tem o comprimento , pode-se pensar em cada sequência como uma aresta não direcionada e estamos perguntando se um gráfico não direcionado pode ser orientado para ser um DAG - se não houver ciclo. Mas um algoritmo ganancioso também funciona. Comece com uma aresta e oriente-a arbitrariamente e continue o máximo que puder e, se ficar preso, sabe que não é possível. Você tentou isso para a sua variação? Parece que pode funcionar. 2
Chandra Chekuri

2
É, todo gráfico não direcionado pode ser orientado para ser um DAG. Basta escolher uma ordem dos vértices e usar essa ordem para orientar as arestas.
David Eppstein

Você está certo, é claro, eu não pensando direito.
Chandra Chekuri

Na minha variação, cada subsequência tem exatamente 4, então a resposta de Yury entra em ação. Minha única esperança neste momento é que as subsequências tenham uma estrutura muito especial e estejam relacionadas umas às outras, então talvez algo específico para o problema ajude. Mas não há martelo geral.
precisa

Respostas:


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Se todas as sequências tiverem comprimento 3, o problema será conhecido como intermediação . Até o problema da intermediação é difícil para o NP. Nesse problema, recebemos um conjunto de vértices e um conjunto de restrições da forma entre v e w . Nosso objetivo é ordenar todos os vértices para maximizar o número de restrições satisfeitas. Opantry [1] provou que a versão de decisão deste problema é NP-difícil. Chor e Sudão [2] provaram que é difícil para o SNP.uvw

O algoritmo de aproximação mais conhecido para o problema, por Chor e Sudão, satisfaz 1/2 de todas as restrições se a instância for completamente satisfatória.

J. Opantry. Problema de Pedido Total, SIAM Journal on Computing , 8 (1): 111-114, fevereiro de 1979.

[2] B. Chor e M. Sudan. Uma abordagem geométrica da intermediação , SIAM Journal on Discrete Mathematics, 11 (4): 511-523, novembro de 1998.

Edições: esclareceu que a versão de decisão do problema é NP-hard.


Yury, isso significa que o problema de decisão sobre se todas as restrições podem ser satisfeitas também é difícil?
Chandra Chekuri

1
ϵ>01ϵ

4
1/31/3+εOPT=1εε>0

|σi|=3i

1
IyiσiσiyiσiIV{yi}{σi}IIIyiVVσi{yi}
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