Compreendendo uma prova de design de mecanismo

Tenho lutado com os detalhes técnicos de uma prova relativa à teoria dos leilões neste artigo: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

Teorema 2.5: As condições necessárias e suficientes para um mecanismo verdadeiro.

Ainda mais especificamente, a direção para a frente da prova, dada na página 6. Definindo um valor verdadeiro como , e um valor geral, possivelmente falso, (por exemplo, uma oferta) como , o autor continua postulando dois quantidades, e . $v_i$ $b_i$ $z_1$ $z_2$

Ele então estipula que , , o que gera uma desigualdade com base no trabalho anterior do artigo. $v_i = z_1$ $b_i = z_2$

Ele também estipula que , , que gera uma desigualdade semelhante, mas diferente, com base no trabalho anterior do artigo. $v_i = z_2$ $b_i = z_1$

Ok, é justo. Ele então subtrai uma desigualdade da outra e passa a derivar o resultado desejado com base na álgebra conseqüente. Não entendo por que essa subtração é justificada - ele parece estar subtraindo duas desigualdades que se baseiam em suposições totalmente diferentes (de fato, opostas), e toda vez que a vejo, sou expulso violentamente da linha de pensamento.

Tenho certeza de que já vi essa abordagem básica (o livro de Shoham e Leyton-Brown? Não a tenho à mão para checar), por isso parece ser uma ideia comum, mas não consigo superar isso. Alguém pode me ajudar a entender por que isso é válido ou me explicar o que está faltando?

(Eu tentei provar o resultado desejado, assumindo três values-- um verdadeiro valor , e duas propostas, e -. Para obter o seu resultado desejado, mas também falhou Por isso, não só pode ser comum, mas necessário fazê-lo da maneira do autor. Mas ainda não o entendo.) $v_i$ $b_1$ $b_2$

Atualização: Eu sabia que tinha visto algo semelhante no livro de Shoham e Leyton-Brown . Não é exatamente o mesmo, mas é muito semelhante e lida com a mesma equação e assunto. É o caso 1 do teorema 10.4.3.

A partir do contexto dos mecanismos verdadeiras, eles primeiro assumir um verdadeiro e um falso e derivar que o pagamento com base em é menor ou igual ao pagamento baseado em , por exemplo, . Eles então assumem o oposto, um verdadeiro e um falso , e obtêm o resultado oposto, que o pagamento baseado em $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $v_i'$ $v_i$ $v_i'$ é menor que o pagamento com base em , por exemplo, . Ok, isso faz sentido. $v_i$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Eles então sustentam que os pagamentos baseados em e devem ser iguais, como se estivessem dizendo que e são simultaneamente verdadeiras, mesmo que sejam o resultado não apenas de suposições diferentes, mas opostas. $v_i$ $v_i'$ $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

gt.game-theory

— Novak
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Respostas:

A resposta é que o mecanismo deve ser verdadeiro para cada conjunto de tipos possíveis: o mecanismo não sabe quais são os tipos verdadeiros antes do tempo. Portanto, para um par de tipos e , o mecanismo deve ser verdadeiro se o tipo verdadeiro de um agente for : ou seja, sua utilidade deve ser maior se ele oferecer que se ele oferecer . Mas o mecanismo também deve ser verdadeiro se o tipo verdadeiro do agente for ! Afinal, no que diz respeito ao mecanismo, pode ser! Portanto, neste caso, a utilidade de um agente deve ser maior se ele oferecer $v_i$ $v_i'$ $v_i$ $v_i$ $v_i'$ $v_i'$ em comparação com. $v_i'$ $v_i$

O ponto é que a veracidade impõe muitas desigualdades diferentes no mesmo mecanismo simultaneamente: uma para cada tipo que um agente possa ter e para cada desvio que ele possa considerar. Todos eles se sustentam. Essa prova usa apenas duas dessas desigualdades

— Aaron Roth
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Acho que finalmente estou começando a entender isso. De fato, saber que a prova está correta (e por que) me impressiona ainda mais quão rigoroso e poderoso é o conceito de "veracidade". Obrigado.

— Nov12

Eu acho que o que você quer é a seguinte proposição.

$V$ $A$ $f:V^n\to A$ $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$ $i,x_i,y_i,v_{−i}$

x_{i} (f (x_{i}, v_{- i})) - p_{i} (x_{i}, v_{- i}) \geq x_{i} (f (y_{i}, v_{- i})) - p_{i} (y_{i}, v_{- i}) .

$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$

i, v_{i}, v_{i}^{'}, v_{- i}

$i,v_i,v'_i,v_{-i}$

v_{i} (f (v_{i}, v_{- i})) - v_{i} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) \geq v_{i}^{'} (f (v_{i}, v_{- i})) - v_{i}^{'} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) .

$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$

$x_i=v_i$ $y_i=v'_i$

v_{i} (f (v_{i}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}, v_{- i}) \geq v_{i} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}^{'}, v_{- i}) .

$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$

x_{i} = v_{i}

$x_i=v_i$

y_{i} = v_{i}^{'}

$y_i=v'_i$

v_{i}^{'} (f (v_{i}^{'}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}^{'}, v_{- i}) \geq v_{i}^{'} (f (v_{i}, v_{- i})) - p_{i} (v_{i}, v_{- i}) .

$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$

A interpretação do mecanismo de design dessa proposição é que todo mecanismo compatível com incentivos (isto é, prova de estratégia, ou seja, verdadeiro) tem "monotonicidade fraca".

Por alguma razão, é convencional argumentar referindo-se a verdadeiras ofertas e mentiras. Nesse contexto, "true" e "lie" são apenas nomes de variáveis, como "x" e "y". É bom usar o mesmo nome para se referir a coisas diferentes em argumentos separados, porque não há diferença formal entre uma oferta verdadeira e uma mentira.

— Colin McQuillan
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Essa é a proposição em questão. (Embora eu ache que você tenha um erro de digitação na terceira linha de sua prova - as atribuições v_i devem ser trocadas da primeira linha.) Ainda estou confuso sobre o porquê de ser aceitável adicionar as duas desigualdades quando elas resultam de suposições diferentes. Sim, não há diferença formal entre uma oferta verdadeira e uma falsa; ambos são números. Mas eles são (ou para ser mais preciso, podem ser) números diferentes .

— Novak

g (a, b) = 1

$g(a,b)=1$

a, b

$a,b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y)-g(y,x)=0$

x, y

$x,y$

Sim. Mas deixe-me analisar isso no contexto do design do mecanismo por um tempo. (E, ao mesmo tempo, atualize minha postagem original no Mathjax e adicione o caso semelhante que eu peguei de Shoham e Leyton-Brown.) #

— 1100 Novak

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

g (a, b) = 1

$g(a,b) = 1$

a

$a$

b

$b$

g (x, y) - g (y, x) = 0

$g(x,y) - g(y,x) = 0$

x

$x$

y

$y$