Maior conjunto que permite pesquisa quântica não estruturada em uma etapa

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Qual é o maior conjunto que admite um algoritmo determinístico de busca quântica, para um único elemento marcado, que opera com apenas uma chamada para o oráculo?

A questão é interessante, já que o algoritmo de Grover, que para pesquisa não estruturada em um conjunto de elementos requer chamadas para o oracle, pode de fato pesquisar um conjunto de 4 elementos usando apenas uma única chamada. $N$ $O(\sqrt{N})$

Em geral, é interessante solicitar o número mínimo de chamadas para um oráculo quântico necessário para pesquisar deterministicamente um conjunto não estruturado de tamanho para um único elemento marcado. $N$

Observe que o algoritmo de Grover é ideal até um fator constante no limite de grande , embora, é claro, isso não signifique que seja ideal para qualquer conjunto finito. $N$

quantum-computing quantum-information

— Jamie Vicary
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Oi Niel. Obrigado por seus comentários. Editei a pergunta para deixar claro que estou interessado pela simplicidade no caso de um único elemento marcado, embora tenha mencionado isso explicitamente mais adiante na pergunta.

— Jamie Vicary

Observe também que a questão não é apenas sobre o desempenho do algoritmo de Grover.

— 21712 Jamie Vicary

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O algoritmo de Grover é exatamente ideal (não apenas no limite de N grande). Isso foi demonstrado por Zalka: o algoritmo de busca quântica de Grover é ideal .

— 27612 Robin Kothari

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Talvez seja mais apropriado para sua pergunta: Dong Pyo Chi e Jinsoo Kim mostraram que, para qualquer algoritmo "do tipo Grover", no qual podemos alterar a fase do operador de difusão e o portão do oráculo de para fases complexas possivelmente independentes e arbitrárias , um elemento marcado pode ser encontrado com uma única consulta se, e somente se, houver pelo menos itens marcados. Aqui está um link para o artigo deles. $-1$ $N/4$

Observe que o caso foi descoberto anteriormente por Brassard, Boyer, Hoyer e Tapp. $t=N/4$

— Philippe Lamontagne
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Obrigado Philippe, essa é uma abordagem diferente e interessante. E está no espírito da pergunta, que não é apenas sobre o desempenho do algoritmo de Grover. Mas ainda assim, acho que não responde à pergunta.

— Jamie Vicary

Ao ler o artigo vinculado, sugeri uma edição que, na minha opinião, enfatiza melhor o resultado de uma maneira que sugere a importância da pergunta que está sendo feita.

— Niel de Beaudrap 27/07/12

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Lov Grover publicou um artigo em 1997 no qual ele mostra que, se você pode consultar o banco de dados em vários itens, basta uma única consulta para encontrar o elemento marcado. No entanto, requer várias etapas de pré-processamento e pós-processamento em . $\Omega(N\log N)$

Se você deixar denotar os elementos do banco de dados, você consultará o oracle com a string para obter algum número e o oracle retornará se o sinal marcado O estado aparece um número ímpar de vezes na sequência e se aparecer um número par de vezes. Você consulta esse oráculo em uma superposição e aplica a inversão sobre o operador médio do algoritmo de Grover. Agora em cada um dos $S_1, \dots, S_N$ $S_{i_1}, \dots, S_{i_\eta}$ $\eta$ $1$ $0$ $(|S_1\rangle+ \dots+ |S_N\rangle)^\eta$ $\eta$ subsistemas, o elemento marcado possui uma amplitude maior que os não-marcados. A medição de todos os subsistemas produz o estado marcado com maior probabilidade e para ter certeza suficiente sobre o estado resultante, deve estar em . $\eta$ $\Omega(N\log N)$

— Philippe Lamontagne
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Não sei ao certo o que significa 'consultar o banco de dados em vários itens'. A pesquisa comum do Grover faz isso preparando o qubit de entrada em uma superposição de todos os elementos possíveis do banco de dados. O oráculo ainda está do tipo ? Eu acho que eu deveria simplesmente ler o jornal ...

C^{n} \otimes C^{2} \to C^{n} \otimes C^{2}

$\mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^2$

— Jamie Vicary

Oh: acho que você quer dizer que estamos chamando nosso oráculo várias vezes em paralelo. Eu acho que está fora do escopo da questão, a menos que você possa mostrar que isso pode ser feito com um único uso da função , se você entende o que quero dizer.

f : N \to {0, 1}

$f: N \to \{0,1\}$

— Jamie Vicary

Na verdade, os oráculos considerados no artigo são perguntas de sim / não sobre os elementos do banco de dados. Por exemplo, o oráculo poderia responder à pergunta "o elemento marcado está nos primeiros elementos ?" ou, nesse caso, "o elemento marcado aparece um número ímpar de vezes nessa cadeia de elementos?" Esta é apenas a minha compreensão, li o artigo rapidamente ontem, para estar errado.

N / 2

$N/2$

— Philippe Lamontagne