A entropia de uma convolução sobre o hipercubo


12

Digamos que temos uma função , de modo que ( para que possamos pensar em como uma distribuição). É natural definir a entropia de uma função da seguinte maneira: f:Z2nRxZ2nf(x)2=1{f(x)2}xZ2n

H(f)=xZ2nf(x)2log(f(x)2).

Agora, considere a convolução de com ela mesma: (Observe que, como estamos lidando com , )[ f f ] ( x ) = y Z n 2 f ( y ) f ( x + y ) . Z n 2 x + y = x - yf

[ff](x)=yZ2nf(y)f(x+y).
Z2nx+y=xy

É possível fazer um limite superior da entropia de (normalizada na sua L_2, para que seja uma distribuição) pela entropia de ? Formalmente, existe uma constante tal que ffL2fC

H(ffff2)CH(f)

Esta pergunta foi postada no mathoverflow no dia primeiro de agosto: mathoverflow.net/questions/103668/… (geralmente é bom cruzar com um atraso como esse, mas você deve dizer o que está fazendo).
Colin McQuillan

Desculpe, eu não estava ciente desta política.

A desigualdade de poder da entropia pode ser útil para você: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality
Ou Meir

Respostas:


9

Não existe essa . Defina por Cg:Z2nR

g(x1,,xn)={22n/3 if x1==xn=01 otherwise.

Então satisfaz gg

(gg)(x1,,xn)={24n/3+2n1 if x1==xn=022n/32+2n2 otherwise.

Seja . Então é (na verdade é exponencialmente pequeno em ), enquanto é aproximadamente .f=g/g2H(f)=H(g/g2)o(1)nH(gg/gg2)n

Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.