Paisagem de sistemas interativos de prova

Minha primeira pergunta é se uma caracterização interativa de sistema de prova é conhecida por todas as classes clássicas de complexidade. Eu chamaria funções clássicas de P, NP, PSPACE, EXP, NEXP, EXPSPACE, recursivas e recursivamente enumeráveis (entre outras). Especificamente, uma caracterização do sistema de prova interativa é conhecida por funções recursivas e recursivamente enumeráveis?

Eu só sei que IP = PSPACE e que MIP = NEXPTIME. Por "saber", eu entendo as definições de objetos nos dois lados da igualdade e, possivelmente, entendo a igualdade.

Minha segunda pergunta é se existe um resumo gráfico de diferentes tipos de sistemas de prova interativos e as classes de complexidade que eles caracterizam.

Especificamente, gostaria de fazer referência a uma figura semelhante à imagem de Immerman das caracterizações da complexidade da descrição .

cc.complexity-theory big-picture interactive-proofs

— Vijay D
fonte

O que você já sabe?

— Tsuyoshi Ito

Há mais de um parâmetro variável em um sistema de prova interativo: qual é o poder do verificador, qual é o poder do provador, que tipo (e quantidade) de comunicação são permitidos, se têm aleatoriedade pré-compartilhada, faz o verificador tem que ler toda a mensagem do provador ou ele tem acesso aleatório à mensagem, etc.

— Robin Kothari

Depois de pensar um pouco mais, não acho que possa responder adequadamente à sua pergunta porque o sistema de prova interativa é um tópico amplo na teoria da complexidade computacional. Você pode verificar o capítulo 9 da complexidade computacional: uma perspectiva conceitual de Goldreich ou os capítulos 8 e 11 da complexidade computacional: uma abordagem moderna de Arora e Barak.

— Tsuyoshi Ito

@VijayD: Sim, isso faz parte da questão. Nas caracterizações descritivas da complexidade, há uma variável (a lógica); portanto, à medida que você sobe de FO para SO, passa de AC0 para PH etc. Nos sistemas de prova interativa, existem tantas variáveis que não está claro que um bom paisagem pode ser desenhada.

— 22612 Robin Kothari

Não tenho certeza de que essa pergunta seja suficientemente especificada. Há uma resposta trivial: toda classe pode ser "caracterizada" como uma "prova interativa", onde o provador basicamente não faz muito e o verificador é poderoso o suficiente. O interessante sobre os resultados IP = PSPACE e MIP = NEXP (e PCP [O (\ log n), O (1)] = NP) é que o verificador é surpreendentemente fraco.

— Sasho Nikolov 20/08/2012

Respostas:

Você pode encontrar muitas caracterizações (principalmente em verificadores de espaço limitado) na famosa pesquisa de Condon: A complexidade dos sistemas de prova interativa com limite de espaço .

Aqui está uma lista de alguns deles:

, onde 2PFA (o verificador) é uma de duas vias probabilística finito autómato. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}IP(2pfa)}$
, em que pfa (o verificador) é um autômato finito probabilístico unidirecional que interage com dois provadores. $\mathsf{R} = \mathsf{2IP(pfa)}$
. $\mathsf{NEXP} = \mathsf{2IP(pfa,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{NP} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,log\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$
, e etc. $\mathsf{P} = \mathsf{AM(log\mbox{-}space)}$ $\mathsf{EXP} = \mathsf{AM(poly\mbox{-}space)}$

Alguns resultados recentes (principalmente quânticos):

porYakaryilmaz, onde 2qcfa (o verificador) é um autómato finito de duas vias que tem um registo do quantum constante de tamanho. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}AM(2qcfa)}$
porYakaryilmaz, onde 2pca (o antigo verificador) é um autômato finito probabilístico bidirecional com um contador e 2qca (o último verificador) é dois autômato finito quântico com um contador. $\mathsf{R} = \mathsf{IP(2pca)} = \mathsf{AM(2qca)}$
Ito, Kobayashi e Watrous deram uma nova caracterização de base em sistemas de provas interativas quânticas com uma diferença dupla exponencialmente pequena na probabilidade de aceitação entre os casos de integridade e solidez. $\mathsf{EXP}$
porJain, Ji, Upadhyay e Watrous, onde QIP é a generalização quântica de sistemas IP. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{QIP(poly\mbox{-}time)}$
é a classe de idiomas para os quais a associação possui uma prova quântica de tamanho logarítmico com perfeição e perfeição perfeitas, que é polinomialmente próxima de 1 em um contexto em que o verificador recebe uma prova com duas partes não emaranhadas (Blier e Tapp). $\mathsf{NP}$
$\mathsf{NL} = \mathsf{weak\mbox{-}oneway\mbox{-}IP(2pfa,constant\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$

— Abuzer Yakaryilmaz
fonte

Obrigado! Isto é exatamente o que eu queria. Eu não sabia como melhorar minha pergunta, que era vaga demais para especialistas, e estou feliz por você ter entendido minha intenção.

— Vijay D

Bem, então, por que você não a marca como a melhor resposta?

— Cem Diga

Porque quem sabe o que o amanhã trará? Gostaria de uma semana ou 10 dias após a postagem para decidir.

— Vijay D

NP é geralmente caracterizado como um sistema de prova no qual o provador envia uma prova de comprimento polinomial a um verificador de tempo polinomial determinístico e depois do qual não há interação. A classe de linguagens recursivamente enumeráveis pode ser caracterizada de maneira semelhante substituindo "polinomial" por "finito".

Além disso, como a classe das linguagens recursivas R é a interseção de ER e coRE, você pode caracterizar R como um sistema de prova no qual um todo-poderoso provador pode convencer um verificador de tempo finito tanto na validade das reivindicações corretas quanto na invalidez de Alegações falsas.

A classe EXP tem uma caracterização em termos de um sistema de prova com "provadores concorrentes" - ou seja, um sistema de prova no qual existe um provador que tenta convencer o verificador de que a alegação é verdadeira e um refutador que tenta convencer o verificador de que a alegação é falsa. Veja o artigo "Tornando os jogos curtos" de Feige e Kilian para mais detalhes.

— Ou Meir
fonte