Reduzindo #SAT para # MONOTONE-2SAT

O problema # MONOTONE-2SAT é conhecido por # P-complete. Isso significa que #SAT pode ser reduzido a ele. Minha pergunta é: dada uma instância #SAT , que é a transformação que converte na instância correspondente # MONOTONE-2SAT ? $F$ $F$ $F'$

A segunda questão é: deixar ser o número de soluções de , e deixá- ser um número de soluções de . Does ? Ou devemos usar uma transformação reversa que converta em ? $K'$ $F'$ $K$ $F$ $K' = K$ $K'$ $K$

— Giorgio Camerani
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Você poderia motivar por que votou contra esta pergunta?

— Giorgio Camerani

Não sou eu quem votou na questão, mas não ficarei surpreso se alguém considerar que a questão é muito básica.

— Tsuyoshi Ito

Acho que não. Não é mais básico do que algumas outras questões levantadas neste site. De qualquer forma, uma pergunta, mesmo que básica, pode ser útil. Minhas perguntas sobre limites inferiores nos clusters de soluções #SAT e SAT também podem ser consideradas muito básicas, mas não foram rejeitadas.

— Giorgio Camerani

A primeira pergunta é bastante básica: essencialmente você perguntou o que era uma redução. A segunda pergunta também me prendeu uma vez, mas é resolvida pensando da maneira certa. O ponto principal da minha resposta é que a pergunta é fácil . Se você ainda acha que a pergunta está no nível certo depois de ler minha resposta, provavelmente minha resposta está mal escrita.

— Tsuyoshi Ito

Walter, Tsuyoshi, embora essa discussão seja útil, um lugar melhor para ela é em meta.cstheory.stackexchange.com. Por que você não discute isso lá e adiciona um link para essa discussão aqui. FWIW, acho que a pergunta é relativamente inofensiva, mas um pouco mais de "por que estou perguntando" teria sido útil.

— Suresh Venkat

Quanto à primeira pergunta, é isso que uma redução faz. Para saber como reduzir # 3SAT a # Monotone-2SAT, consulte a prova de # P-completude de # Monotone-2SAT [Val79b], que é baseada na # P-completude de Permanent [Val79a]. Para reduzir #SAT para # 3SAT, a redução de Cook de qualquer problema no NP para 3SAT é parcimoniosa e, portanto, reduz #SAT para # 3SAT.

A resposta para a segunda pergunta é não. A redução de [Val79a] de # 3SAT para permanente não preserva o número de soluções. Além disso, se fosse conhecida uma redução de #SAT para # Monotone-2SAT (ou Permanente) que preserva o número de soluções, a mesma redução reduziria a versão de decisão do SAT à versão de decisão do Monotone-2SAT (ou Correspondência bipartida), implicando P = NP.

Referências

Leslie G. Valiant. A complexidade de calcular o permanente. Teoria da Computação , 8 (2): 189–201, 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(79)90044-6

Leslie G. Valiant. A complexidade dos problemas de enumeração e confiabilidade. SIAM Journal on Computing , 8 (3): 410–421, agosto de 1979. http://dx.doi.org/10.1137/0208032

— Tsuyoshi Ito
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Obrigado por seus ponteiros para [Val79b] e [Val79a]. No que diz respeito à segunda resposta, não consigo entender: se um problema for # P-complete, ele poderá ser usado para resolver qualquer outro problema em #P. Agora, suponha que eu queira resolver #SAT: quero saber o número K de soluções de uma dada fórmula F; para fazer isso, reduzo F para uma instância F 'de # MONOTONE-2SAT e obtenho o número K' de soluções para F '. Agora, se conhecer K 'não me ajuda a conhecer K (ou seja, resolver # MONOTONE-2SAT não me ajuda a resolver #SAT) como pode # MONOTONE-2SAT ser # P-completo? Por que devo fazer tudo isso se não resolver o #SAT?

— Giorgio Camerani 13/09/10

Deixe-me expressar um comentário lateral. É possível que eu tenha que pagar 40 dólares para ler um artigo com 31 anos? Acho isso absurdo e contra o espírito da ciência. Concordo que o artigo tenha entre 10 e 15 anos, pois pode ser considerado uma descoberta "patenteada". Mas pagar por um artigo de 31 anos é uma vergonha IMHO. Alguém poderia me indicar uma versão gratuita dele?

— Giorgio Camerani

Quanto à segunda resposta, é possível calcular K a partir de K ′ (e F); caso contrário, um mapeamento de F para F 'não seria uma redução. No entanto, sua pergunta é se é possível fazer uma redução tal que K = K ′. A resposta é que não é possível.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ito: Mais um comentário sobre sua segunda resposta. Ter o mesmo número de soluções não implica ter o mesmo espaço de solução. Uma instância A pode ter o mesmo número de soluções de uma instância B, mas as soluções de B podem ser distribuídas de uma maneira completamente diferente no espaço da solução.

— Giorgio Camerani

Não conheço cópias disponíveis gratuitamente dos papéis que citei. Uma prova da # P-completude do Permanent está em muitos livros didáticos sobre complexidade computacional, que podem estar disponíveis em bibliotecas: por exemplo, Complexidade Computacional por Papadimitriou, Complexidade Computacional: Uma Perspectiva Conceitual por Goldreich e Complexidade Computacional: Uma Abordagem Moderna por Arora e Barak conter uma prova. (more)

— Tsuyoshi Ito