Na entropia de uma soma

12

Eu estou procurando um ligado na entropia da soma de duas variáveis aleatórias discretas independentes e . Naturalmente, No entanto, aplicado à soma de variáveis aleatórias independentes Bernoulli , isso dá $H(X+Y)$ $X$ $Y$

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) (*)

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) ~~~~~~(*)$

n

$n$

Z_{1}, \dots, Z_{n}

$Z_1, \ldots, Z_n$

Em outras palavras, o limite cresce linearmente com

quando aplicado repetidamente. No entanto,

é suportado em um conjunto de tamanho

, portanto sua entropia é no máximo

. Na verdade, pelo teorema limite central, acredito que

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) \leq n H (Z_{1})

$H(Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n) \leq n H(Z_1)$

n

$n$

Z_{1} + \dots Z_{n}

$Z_1 + \cdots Z_n$

n

$n$

\log n

$\log n$

já que é essencialmente suportado em um conjunto de tamanho

H (Z_{1} + \dots + Z_{n}) \approx (1 / 2) \log n

$H(Z_1 + \cdots + Z_n) \approx (1/2) \log n$

.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

Em resumo, o limite ultrapassa um pouco nessa situação. Ao ler esta publicação no blog , eu entendo todos os tipos de limites em são possíveis; existe um limite que dê os assintóticos corretos (ou, pelo menos, assintóticos mais razoáveis) quando aplicado repetidamente à soma das variáveis aleatórias de Bernoulli? $(*)$ $H(X+Y)$

it.information-theory shannon-entropy

— Robinson
fonte

2

Não sei ao certo o que você está realmente perguntando. Se você deseja um limite superior em H (X + Y) em termos de H (X) e H (Y) aplicável a quaisquer duas variáveis aleatórias discretas independentes X e Y, então H (X + Y) ≤H (X ) + H (Y) é claramente o melhor que você pode obter; considere o caso em que as somas x + y são todas distintas quando x varia sobre o suporte de X e y sobre o suporte de Y. Se você aplicar esse limite geral a um caso muito especial, é natural que você obtenha uma limite solto.

— Tsuyoshi Ito

1

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) - \dots

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) - \ldots$

n

$n$

1

H (X + Y) \leq 3 H (X - Y) - H (X) - H (Y)

$H(X+Y) \leq 3 H(X-Y) - H(X) - H(Y)$

2

Isso significa que o que você está procurando não é um limite superior em H (X + Y) em termos de H (X) e H (Y) . Por favor edite a pergunta.

— Tsuyoshi Ito

1

Z_{i}

$Z_i$

n

$n$

19

$X$ $A$ $2^{H(X)}$ $Y$ $B$ $2^{H(Y)}$

$|A+B|$ $|A|$ $|B|$ $|A+B| \sim |A|\cdot |B|$ $H(X+Y) \sim H(X)+H(Y)$

$|A+B| \ll |A|\cdot |B|$ $A$ $B$ $|A+B|$ $(G,+)$ $|A+B|=O(|A|+|B|)$ $A,B$ $G$

$A$ $[a..b]$ $B$ $[0..c]$ $(1/2)\log n$ $c=1$ $a=0$ $b=k$ $k=1,...,n-1$ $a \sim k-\sqrt{k}$ $b \sim k+ \sqrt{k}$ $|A+B| \leq |A|+c$

— Boaz Barak
fonte

5

$n$ $Z_1,Z_2,...,Z_n$ $p$ $Z_1+Z_2+...+Z_n$ $np$ $np$ $\frac{1}{2}\log n + O(\log n)$

— VSJ
fonte

0

Talvez você possa usar a equação:

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) = H (Z_{1}) + H (Z_{2}) + \dots + H (Z_{n}) - H (Z_{1} | Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) - H (Z_{2} | Z_{2} + Z_{3} + \dots + Z_{n}) - \dots - H (Z_{n - 1} | Z_{n - 1} + Z_{n})

$H(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)=H(Z_1)+H(Z_2)+\cdots+H(Z_n)-H(Z_1|Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)-H(Z_2|Z_2+Z_3+\cdots+Z_n)-\cdots-H(Z_{n-1}|Z_{n-1}+Z_n)$

Parece um termo que você mencionou nos comentários, infelizmente não conheço resultados sobre a cardinalidade dos termos negativos ou limites perspicazes sobre eles.

— Rick
fonte