TSP 1d aproximado com comparações lineares?

O problema unidimensional do caminho do vendedor ambulante é, obviamente, o mesmo que a classificação e, portanto, pode ser resolvido exatamente por comparações no tempo , mas é formulado de tal maneira que a aproximação quanto a exata solução faz sentido. Em um modelo de computação em que as entradas são números reais e é possível arredondar para números inteiros, é fácil aproximar-se de um fator , para qualquer constante , no tempo : encontre min e max, arredonde tudo para um número dentro da distância do valor original e use a classificação radix. Mas os modelos com arredondamento têm uma teoria problemática da complexidade e isso me levou a pensar: e os modelos mais fracos de computação? $O(n\log n)$ $1+O(n^{-c})$ $c$ $O(n)$ $(\max-\min)n^{-(c+1)}$

Portanto, com que precisão o TSP unidimensional pode ser aproximado, em um modelo linear de árvore de comparação (cada nó de comparação testa o sinal de uma função linear dos valores de entrada), por um algoritmo cuja complexidade de tempo é $o(n\log n)$ ? O mesmo método de arredondamento permite que qualquer taxa de aproximação da forma $n^{1-o(1)}$ seja alcançada (usando pesquisas binárias para fazer o arredondamento e arredondando muito mais grosseiramente para torná-lo rápido o suficiente). Mas é possível atingir uma taxa de aproximação como $O(n^{1-\epsilon})$ para alguns $\epsilon>0$ ?

— David Eppstein
fonte

Eu não estou familiarizado com 1D TSP. Você pode defini-lo?

— Tyson Williams

@Tyson Williams: O problema do caminho do vendedor ambulante 1D é o caso especial do problema do caminho do vendedor ambulante euclidiano, em que todas as cidades estão no eixo x. Ou formalmente, você recebe n números reais a_1,…, a_n, e seu objetivo é gerar uma permutação π: {1,…, n} → {1,…, n} de modo que {_ {i = 1} ^ {n − 1} | a_ {π (i)} - a_ {π (i + 1)} | é minimizado.

— Tsuyoshi Ito

EDIT (UPDATE): O limite inferior da minha resposta abaixo foi comprovado (por uma prova diferente) em "Sobre a complexidade de aproximar os passeios euclidianos dos vendedores ambulantes e as árvores mínimas", de Das et al; Algorithmica 19: 447-460 (1997).

é possível atingir uma taxa de aproximação como por algum in usando um algoritmo baseado em comparação? $O(n^{1-\epsilon})$ $\epsilon>0$ $o(n\log n)$

Não. Aqui está um limite inferior.

Afirmação. Para qualquer , todo algoritmo de aproximação baseado em comparação requer comparações no pior dos casos. $\epsilon>0$ $n^{1-\epsilon}$ $\Omega(\epsilon n\log n)$

Por "baseado em comparação", quero dizer qualquer algoritmo que apenas consulta a entrada com consultas binárias (Verdadeiro / Falso).

Aqui está uma tentativa de prova. Espero que não haja erros. FWIW, o limite inferior parece provável se estender a algoritmos aleatórios.

Corrija qualquer e qualquer arbitrariamente pequeno, mas constante . $n$ $\epsilon>0$

Considere apenas oinstâncias de entrada "permutação" que são permutações de . A solução ideal para qualquer uma dessas instâncias custou . $n!$ $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ $[n]$ $n-1$

Defina o custo de uma permutação para ser. Modele o algoritmo como tendo como entrada uma permutação , produzindo uma permutação e pagando o custo . $\pi$ $c(\pi) = \sum_i |\pi(i+1) - \pi(i)|$ $\pi$ $\pi'$ $d(\pi,\pi') = c(\pi'\circ \pi)$

Defina como o número mínimo de comparações para qualquer algoritmo baseado em comparação, para obter uma razão competitiva nessas instâncias. Como opt é , o algoritmo deve garantir o custo no máximo . $C$ $n^{1-\epsilon}$ $n-1$ $n^{2-\epsilon}$

Mostraremos . $C\ge \Omega(\epsilon n\log n)$

Defina como, para qualquer saída possível , a fração de entradas possíveis para a qual a saída alcançaria um custo no máximo . Essa fração é independente de . $P$ $\pi'$ $\pi'$ $n^{2-\epsilon}$ $\pi'$

$P$ também é igual à probabilidade de que, para uma permutação aleatória , seu custo seja no máximo . (Para ver por que, considere como permutação de identidade Então é a fração de entradas para a qual no máximo , mas .) $\pi$ $c(\pi)$ $n^{2-\epsilon}$ $\pi'$ $I$ $P$ $d(\pi,I)$ $n^{2-\epsilon}$ $d(\pi,I) = c(\pi)$

Lema 1. . $C \ge \log_2 1/P$

Prova. Corrija qualquer algoritmo que sempre use comparações inferiores aA árvore de decisão do algoritmo possui profundidade menor que , portanto, existem menos de folhas e, para alguma permutação de saída , o algoritmo fornece como saída para mais de um fração das entradas. Por definição de , para pelo menos uma dessas entradas, a saída custa mais que . QED $\log_2 1/P$ $\log_2 1/P$ $1/P$ $\pi'$ $\pi'$ $P$ $P$ $\pi'$ $n^{2-\epsilon}$

Lema 2. . $P \le \exp(-\Omega(\epsilon n\log n))$

Antes de apresentarmos a prova do Lema 2, observe que os dois lemas juntos apresentam a afirmação:

C \geq \log_{2} \frac{1}{P} = \log_{2} \exp (Ω (ϵ n \log n)) = Ω (ϵ n \log n) .

$C ~\ge~ \log_2 \frac{1}{P} ~=~ \log_2 \exp(\Omega(\epsilon n\log n)) ~=~ \Omega(\epsilon n\log n).$

Prova de lema 2. Seja uma permutação aleatória. Lembre-se de que é igual à probabilidade de seu custo ser no máximo . Digamos que qualquer par seja uma aresta com custo, então é a soma dos custos de borda. $\pi$ $P$ $c(\pi)$ $n^{2-\epsilon}$ $(i,i+1)$ $|\pi(i+1)-\pi(i)|$ $c(\pi)$

Suponha que . $c(\pi) \le n^{2-\epsilon}$

Então, para qualquer , no máximo das arestas custam ou mais. Digamos que bordas de custo menores que sejam baratas . $q>0$ $n^{2-\epsilon}/q$ $q$ $q$

Corrija . Substituindo e simplificando, no máximo das arestas não são baratas. $q=n^{1-\epsilon/2}$ $n^{1-\epsilon/2}$

Assim, pelo menos das arestas são baratas. Assim, existe um conjunto contendo arestas baratas. $n - n^{1-\epsilon/2} \ge n/2$ $S$ $n/2$

Afirmação. Para qualquer conjunto de arestas, a probabilidade de que todas as arestas em sejam baratas é no máximo . $S$ $n/2$ $S$ $\exp(-\Omega(\epsilon n \log n))$

Antes de provarmos a afirmação, observe que ela implica o lema da seguinte forma. Pela alegação e pelo limite da união ingênua, a probabilidade de que exista esse conjunto é no máximo $S$

(\binom{n}{n / 2}) \exp (- Ω (ϵ n \log n)) \leq 2^{n} \exp (- Ω (ϵ n \log n))

${n\choose n/2} \exp(-\Omega(\epsilon n \log n)) ~\le~ 2^n \exp(-\Omega(\epsilon n \log n))$

\leq \exp (O (n) - Ω (ϵ n \log n)) \leq \exp (- Ω (ϵ n \log n)) .

$~\le~ \exp(O(n) -\Omega(\epsilon n \log n)) ~\le~ \exp(-\Omega(\epsilon n \log n)).$

Prova de reivindicação. Escolha pelo seguinte processo. Escolha uniformemente entre , escolha uniformemente entre e escolha uniformemente entre etc. $\pi$ $\pi(1)$ $[n]$ $\pi(2)$ $[n] - \{\pi(1)\}$ $\pi(3)$ $[n]-\{\pi(1),\pi(2)\}$

Considere qualquer borda em . Considere o tempo logo após a escolha de , quando está prestes a ser escolhido. Independentemente das primeiras escolhas (para para ), há pelo menos opções para e no máximo daquelas as opções darão ao limite custo menor que (tornando-o barato). $(i,i+1)$ $S$ $\pi(i)$ $\pi(i+1)$ $i$ $\pi(j)$ $j\le i$ $n-i$ $\pi(i+1)$ $2n^{1-\epsilon/2}$ $(i,i+1)$ $n^{1-\epsilon/2}$

Assim, condicionado nas primeiras escolhas, a probabilidade de que a borda é barato, é, no máximo, . Portanto, a probabilidade de que todas as arestas em sejam baratas é no máximo Como , há pelo menos arestas em com . Portanto, este produto é no máximo $i$ $\frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n-i}$ $n/2$ $S$

\prod_{(i, i + 1) \in S} \frac{2 n^{1 - ϵ / 2}}{n - i} .

$\prod_{(i,i+1)\in S} \frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n-i}.$

| S | \geq n / 2

$|S|\ge n/2$

n / 4

$n/4$

S

$S$

n - i \geq n / 4

$n-i\ge n/4$

(\frac{2 n^{1 - ϵ / 2}}{n / 4})^{n / 4} \leq (8 n^{- ϵ / 2})^{n / 4} = \exp (O (n) - Ω (ϵ n \log n)) = \exp (- Ω (ϵ n \log n)) .

$\big(\frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n/4}\big)^{n/4} ~\le~(8n^{-\epsilon/2})^{n/4} ~=~\exp(O(n)-\Omega(\epsilon n \log n)) ~=~\exp(-\Omega(\epsilon n \log n)).$

QED

— Neal Young
fonte

ps Recebi um pedido para tornar isso citável, então coloquei-o no arvix.org aqui .

— Neal Young