Existe uma prova de que a adição é mais rápida que a multiplicação?

O melhor limite superior conhecido na complexidade temporal da multiplicação é o limite Martin Fürer , que é mais do que a complexidade de adição linear no tempo. Temos uma prova de que a adição é inerentemente mais fácil que a multiplicação? $n\log n2^{O(\log^* n)}$

cc.complexity-theory time-complexity

— Hooman
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Corrigido o tempo limite.

— Jeffε

veja também os principais problemas não resolvidos no TCS

— vzn 20/09/2012

vai depender de como você representa seus números; se você lidar com o registro do número multiplicação é mais rápido do que a adição (uma vez que requer um prisioneiro de guerra e um log)

— aberração catraca

Não.

Atualmente, nenhum limite inferior melhor incondicional do que o trivial é atualmente conhecido para multiplicação inteira. Existem alguns limites inferiores condicionais. Para mais informações, você pode dar uma olhada no artigo de Martin Fürer, Multiplicação mais rápida de números inteiros . $\Omega(n)$

Edite a seguir ao comentário de Andrej: A adição pode ser feita no tempo . Em comparação, o limite superior mais conhecido para multiplicação é (aproximadamente) . Por outro lado, nenhum limite inferior não trivial é conhecido para multiplicação, portanto, não há prova de que a adição seja mais rápida que a multiplicação. Como (também) frequentemente na teoria da complexidade, simplesmente não sabemos! $\mathcal O(n)$ $\mathcal O(n\log n)$

— Bruno
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Parece-me que o artigo não prova que a adição é mais rápida que a multiplicação. Devo assumir que ainda não há provas disso?

— Hooman 20/09/12

O que Bruno está dizendo é o seguinte: é claro que podemos fazer acréscimos no tempo linear e não podemos fazê-lo mais rapidamente do que no tempo linear (porque você precisa observar a entrada). Portanto, mostrar que a adição é mais difícil que a multiplicação é o mesmo que mostrar que a multiplicação não pode ser feita em tempo linear. Mas não existe essa prova.

— Andrej Bauer

@andrej, você quer dizer "mostrar multiplicação é mais difícil que adição", certo? o pôster confundiu também uma versão anterior da pergunta. Além disso, não há tal prova conhecida . isso também parece ser um bom candidato para mathoverflow, "a maioria dos problemas 'óbvio' abertos em teoria da complexidade"

— vzn

@vzn é uma ótima resposta para essa pergunta do MO, IMO.

— Sasho Nikolov 21/09/12

@SashoNikolov Não tenho certeza - não sei se a multiplicação em O (n) seria tão chocante. Certamente é uma surpresa, mas o AFAIK não existe uma boa razão, exceto por analogia com problemas como classificação, transformadas de Fourier, etc., para acreditar que o problema de multiplicação 'natural' de O (n ^ 2) não pode ser simplificado até o tempo linear .

— Steven Stadnicki