Maximizando uma função submodular de dois conjuntos com diferentes restrições de tamanho

Eu tenho dois domínios totalmente distintos (maçãs e laranjas) e eu tenho uma função que pega um conjunto de objetos do primeiro domínio e um conjunto de objetos do segundo domínio e retorna um número real. $f$

possui as seguintes propriedades interessantes: $f(S,T)$

fixando , é não negativo, submodular e monótono wrt ; $T$ $S$
fixação , que é não-negativo, submodulares e monótona wrt . $S$ $T$

Eu quero maximizar com duas restrições de cardinalidade e . $f(S,T)$ $|S| = s$ $|T| = t$

Como eu posso fazer isso? Se considerar o espaço do produto, a função é monótona e submodular. Assim, posso aplicar o algoritmo ganancioso padrão. Lidar com as duas restrições de tamanho diferentes pode não ser um problema: adicionar e em sequência permite aumentar sem aumentar . $(a, x)$ $(a, y)$ $|T|$ $|S|$

A questão é se a aproximação ainda é válida. $1-1/e$

ds.algorithms optimization submodularity

— Francesco Bonchi
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f (\emptyset, \emptyset) = f ({s}, \emptyset) = f (\emptyset, {t}) = 0

$f(\emptyset,\emptyset)=f(\{s\},\emptyset)=f(\emptyset,\{t\})=0$

f ({s}, {t}) = 1

$f(\{s\},\{t\})=1$

Obrigado, bom ponto. Então, vamos esquecer a segunda parte da minha pergunta. Alguma idéia de como maximizar essa função?

— Francesco Bonchi 9/10/12

$(V,E)$ $V=V_1 \uplus V_2$ $f(S,T)$ $S \subseteq V_1, T \subseteq V_2$ $S$ $T$ $f$ $f(S,\cdot)$ $f(\cdot,T)$ $a=b=k$ $k$ $k$

— Chandra Chekuri
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