O BQP é igual ao BPP com acesso a um oráculo de subgrupo oculto da Abelian?

complexity-classes quantum-computing

— Jason
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Na verdade, há uma boa quantidade de trabalho em problemas de subgrupos ocultos não abelianos na pesquisa de algoritmos quânticos, por isso espero que certamente não seja esse o caso!

— Joe Fitzsimons

@ Joe: Eu pensei que a maior parte do trabalho em HSPs não-abelianos era para grupos de alguma forma "próximos do abeliano" - mas, por favor, me corrija se eu estiver errado, pois não sou especialista na área. Mas, se esse for realmente o caso, uma resposta positiva à pergunta pode não contradizer os trabalhos a que você se refere.

— Joshua Grochow

Respostas:

Como muitas separações de classes de complexidade, nosso melhor palpite é que a resposta é que BPP ^ {HSP}! = BQP, mas só podemos provar isso rigorosamente em relação aos oráculos. Essa separação foi observada por Scott Aaronson nesta postagem do blog, onde observou que a aceleração das árvores soldadas de Childs, Cleve, Deotto, Farhi, Gutmann e Spielman não estava contida no SZK.

Por outro lado, BPP ^ {HSP} está contido no SZK, pelo menos se o objetivo é determinar o tamanho do subgrupo oculto. Isso inclui até o HSP abeliano, embora eu não tenha certeza de como exatamente encontrar os geradores de um subgrupo oculto arbitrário no SZK. A razão pela qual podemos decidir o tamanho do subgrupo oculto é que, se f: G-> S ocultou o subgrupo H, e escolhemos g uniformemente aleatoriamente a partir de G, então f (g) é uniformemente aleatório sobre um conjunto de tamanho | G | / | H |. Em particular, f (g) possui log de entropia | G | - log | H |. E a estimativa de entropia está em SZK.

— Aram Harrow
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Eu sabia que tinha visto um post sobre isso em algum lugar!

— Joe Fitzsimons

Não tenho idéia de como alguém refutaria uma afirmação como essa, mas duvido que seja verdade. Temos outras acelerações exponenciais por algoritmos quânticos que não dependem do HSH abeliano. Além disso, o HSP abeliano não é conhecido por ser completo em BQP.

Por outro lado, problemas que são conhecidos por estarem completos em BQP são problemas como calcular invariantes do Knot, outros invariantes múltiplos, funções de partição e fazer simulação Hamiltoniana. Com um oráculo para qualquer um desses problemas, o BPP seria tão poderoso quanto o BQP.

Finalmente, tenho certeza de que alguém pode construir uma separação de oráculo entre as duas classes mencionadas, mas isso não seria uma maneira justa de compará-las, uma vez que uma classe pode fazer consultas quânticas e a outra não, portanto a separação refletirá apenas esse fato .

— Robin Kothari
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Quais são as referências sobre problemas com acelerações superpolinomiais que não dependem do HSH Abelian?

— Marcos Villagra

uma pergunta mais precisa é "quais são as referências sobre problemas com acelerações superpolinomiais que não dependem do HSP?"

— Marcos Villagra

O zoo de algoritmos quânticos ( its.caltech.edu/~sjordan/zoo.html ) possui uma grande lista de algoritmos e referências para cada um.

— Robin Kothari

@ Josué: Essas separações de oráculos são boas, porque elas estão tentando exibir o poder das consultas quânticas. Deixe-me dar um exemplo do que quero dizer. Se houvesse um algoritmo polytime para 3SAT, e que esse algoritmo fosse chamado X. Claramente P ^ X contém NP. No entanto, podemos construir uma separação de oráculo entre P ^ X e NP, porque no primeiro caso apenas a máquina P pode acessar o oráculo, e a separação reflete apenas o fato de que consultas não determinísticas são melhores que consultas determinísticas. Da mesma forma, mesmo que BPP ^ AHSP contivesse BQP, poderíamos separá-los com um oráculo facilmente.

— Robin Kothari

Obrigado por todas as respostas. Em particular, obrigado por me lembrar os polinômios Jones e HOMFLY, que nada têm a ver com os HSPs. Avaliar o polinômio de Jones exatamente nas quinta raízes da unidade é difícil, mas aproxima-los até alguma fração epsilon com alguma precisão probabilística está no BQP.

— Jason

Eu tenho que concordar com Robin que essa não é necessariamente uma afirmação fácil de contestar, embora quase certamente seja falsa. Uma razão imediata que me faz duvidar é que o cálculo quântico pós selecionado é igual a PP, e isso parece sugerir que seria difícil recriar as estatísticas. Scott Aaronson tem um artigo no STOC mostrando que existe um problema de relação oráculo que é solucionável no BQP, mas não no PH.

$BPP^{NP} = P^{\#P}$

— Joe Fitzsimons
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P ^ {# P} = P ^ {PP}, para que você possa usá-lo.

— Robin Kothari

Sim, isso teria sido a coisa mais inteligente a fazer!

— Joe Fitzsimons