A norma de rastreamento da diferença entre duas matrizes de densidade sendo uma implica que essas duas matrizes de densidade podem ser diagonalizáveis simultaneamente?

Eu acredito que a resposta a esta pergunta é bem conhecida; mas infelizmente não sei.

Na computação quântica, sabemos que estados mistos são representados por matrizes de densidade. E a norma de rastreamento da diferença de duas matrizes de densidade caracteriza a capacidade de distinguir os dois estados mistos correspondentes. Aqui, a definição de norma de rastreamento é a soma de todos os autovalores da matriz de densidade, com um fator multiplicativo extra 1/2 (de acordo com a diferença estatística de duas distribuições). É sabido que, quando a diferença de duas matrizes de densidade é uma, então os dois estados mistos correspondentes são totalmente distinguíveis, enquanto que quando a diferença é zero, os dois estados misturados são totalmente indistinguíveis.

Minha pergunta é: a norma de rastreamento da diferença de duas matrizes de densidade sendo uma implica que essas duas matrizes de densidade podem ser simultaneamente diagonalizáveis? Se esse for o caso, tomar a medida ideal para distinguir esses dois estados mistos se comportará como distinguir duas distribuições no mesmo domínio com suporte separado .

quantum-computing quantum-information

— Jeremy Yan
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Você poderia definir o que é uma matriz de densidade? é apenas uma matriz definida positiva?

— Suresh Venkat

@Suresh: matriz de densidade A é um Hermitiana, a matriz semidefinido positivo cujo traço é igual a 1.

— Tsuyoshi Ito

A resposta para a pergunta é sim, porque a distância do traço 1 implica que as duas matrizes de densidade têm suportes ortogonais.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Talvez você deva escrever esse comentário como resposta?

— Robin Kothari

@Robin: Claro, pronto.

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

Aqui está uma maneira de provar o seu interesse.

$\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

Para tirar essa conclusão, observe primeiro que e , então . Em seguida, considere e como projeções ortogonais nas imagens de e , respectivamente. Temos portanto, Ambos e $\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ deve estar contido no intervalo [0,1], do qual concluímos que e . A partir dessas equações, não é difícil concluir e e, portanto, pela equação acima. Um argumento semelhante mostra .

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

— John Watrous
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Obrigado, Prof. Watrous. Na verdade, eu aprendo todas essas normas sobre traços e matrizes de densidade a partir de suas anotações de aula.

— Jeremy Yan

Gostaria de acrescentar que todos os itens discutidos neste post podem ser encontrados nas notas de aula on-line do professor Watours (aula 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

— Jeremy Yan

Sim. Se a distância do traço de duas matrizes de densidade for igual a 1, elas terão suportes ortogonais e, portanto, são simultaneamente diagonalizáveis.

— Tsuyoshi Ito
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Acho que a resposta é sim, mas não conheço a prova.

— Jeremy Yan

A idéia principal da prova que estabelece duas matrizes de densidade é totalmente distinguível quando a distância do traço é uma, é diagonalizar a diferença das duas matrizes de densidade; mas como provar que a mesma base diagonaliza as duas matrizes de densidade? Talvez essas duas matrizes de densidade não sejam diagonais em relação a essa base, mas a diferença seja. Alguém pode dar uma idéia da prova ou fazer algumas referências à prova? Obrigado.

— Jeremy Yan

A norma de rastreamento da diferença entre duas matrizes de densidade sendo uma implica que essas duas matrizes de densidade podem ser diagonalizáveis ​​simultaneamente?

A norma de rastreamento da diferença entre duas matrizes de densidade sendo uma implica que essas duas matrizes de densidade podem ser diagonalizáveis simultaneamente?