Complexidade da classificação

Não é difícil mostrar que classificar uma matriz de números é difícil para . Se a entrada é uma matriz de 1s e 0s então é essencialmente a função C o u n t (dado n bits de saída do número de 1s em binário) desde C S u n t é completo para o t C 0 e é possível converter números unários em números binários e (logarítmica) pequenos números binários em números unários em A C 0 :$\mathsf{TC^0}$$Count$$n$$Count$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{AC^0}$

S o r t ( → x ) = L n uma r y ( C o u n t ( → x ) $Count(\vec{x}) = Binary(Sort(\vec{x}))$
$Sort(\vec{x}) = Unary(Count(\vec{x}))$

Portanto, o poder de é essencialmente classificar uma sequência binária (por exemplo, 100011 a 000111). Isso ocorre mais geralmente quando os números na matriz são limitados. Minha pergunta é: e se os números não forem limitados?$\mathsf{TC^0}$

O problema de classificar uma matriz de números ilimitados ainda está em ? Está completo para uma classe maior como N C 1 ?$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{NC^1}$

Suponha que você tenha números x 1 , … , x n de largura m ≥ log n . Sem perda de generalidade, todos os números são diferentes (adicione um log extra n bits de ordem inferior). Dois números podem ser comparados em AC ⁰ , portanto, em AC ⁰ , podemos calcular, para cada x i , um vetor binário v , definido por v j = 1 se x j ≥ x i . No TC ⁰ , podemos ordenar v para$n$$x_1,\ldots,x_n$$m \geq \log n$$\log n$$x_i$$v$$v_j = 1$$x_j \geq x_i$$v$ , em seguida, localize (em AC⁰) a posição k tal que w k = 1 enquanto w k - 1 = 0 (onde w 0 = 0 , w n + 1 = 1 ). Dados esses valores k para cada i ∈ [ n ] , podemos calcular a matriz classificada em AC⁰. No total, obtemos umcircuitoTC⁰.$w$$k$$w_k = 1$$w_{k-1} = 0$$w_0=0$$w_{n+1}=1$$k$$i \in [n]$