Em que circunstâncias os algoritmos

Suponha que, para cada $\epsilon > 0$ , exista uma máquina de Turing $M_{\epsilon}$ que decida um idioma $L$ no tempo $O(n^{a + \epsilon})$ . Existe um algoritmo único que decide $L$ no tempo $O(n^{a + o(1)})$ ? (Aqui, $o(1)$ termo o ( 1 ) é medido em termos de $n$ , o comprimento da entrada.)

Faz diferença se os algoritmos $M_{\epsilon}$ são computáveis ​​ou eficientemente computáveis ​​em termos de $\epsilon$ ?

Motivação: em muitas provas, é mais fácil construir algoritmos de tempo $O(n^{a + \epsilon})$ que o algoritmo limitador $O(n^{a + o(1)})$ . Em particular, você precisa vincular o termo constante em $O(n^{a + \epsilon})$ para passar para o limite $O(n^{a+o(1)})$ . Seria bom se houver algum resultado geral que você possa chamar para passar diretamente para o limite.

A questão é semelhante às questões sobre a existência construtiva do limite de uma sequência de objetos (construtivos). Normalmente, se você pode construir uniformemente esses objetos (aqui $M\epsilon$ ) com eficiência suficiente, poderá mostrar construtivamente a existência do limite.

Por exemplo, suponha que tenhamos uma TM que executa M | k | - 1 em x e seu tempo de execução é O ( n a + | k | - 1 ) + O ( | k | ) (aqui os limites também são uniformes, por exemplo, algo como O ( 2 k . N a + | k | - 1$N(k,x)$$M_{|k|^{-1}}$$x$$O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$$O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$não funcionaria). Em seguida, pode combinar este simulador uniforme com a função de para obter o máquina N ( x , x ) que é executado no tempo O ( n um + O ( 1 ) ) .$(k,x)\mapsto x$$N(x,x)$$O(n^{a+o(1)})$

PS: é um pouco ambíguo por causa do aninhamento de notações assintóticas, estou interpretando como n a + o ( 1 ) . Também precisamos de um ser não muito pequeno, por exemplo, pelo menos 1 .$O(n^{a+o(1)})$$n^{a+o(1)}$$a$$1$

Você pode usar o algoritmo de busca universal de Levin. Suponha que você possa de alguma forma enumerar uma sequência de algoritmos decide L , cada um executando no tempo C k n a + 1 / k . O algoritmo de Levin é executado no tempo T ( n ) ≤ D k n a + 1 / k para cada k , onde D k é uma constante, dependendo de C k . Assim, para cada k , τ ( n ) $A_k$$L$$C_k n^{a+1/k}$$T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$$k$$D_k$$C_k$$k$ Dadoϵ>0, escolhak=⌈2/ϵ⌉e deixeN=⌈D 2 / ϵ k ⌉. Então paran≥N,τ(n)≤ϵ. Portantoτ(n)→0, e obtemos que o algoritmo de Levin é executado no tempona+τ(n)=na

$$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$$ $\epsilon>0$$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$$n \geq N$$\tau(n) \leq \epsilon$$\tau(n) \rightarrow 0$ .$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$