Algoritmos e teoria da complexidade estrutural

Muitos resultados importantes na teoria da complexidade computacional e, em particular, na teoria da complexidade "estrutural", têm a propriedade interessante de que eles podem ser entendidos como fundamentalmente seguintes (como eu o vejo ...) a partir de resultados algorítmicos, fornecendo um algoritmo ou protocolo de comunicação eficiente para alguns. problema. Isso inclui o seguinte:

IP = PSPACE segue de um algoritmo recursivo com eficiência de espaço, simulando protocolos interativos e de um protocolo interativo eficiente para avaliar fórmulas booleanas totalmente quantificadas. De fato, qualquer igualdade de classe de complexidade A = B pode ser vista como resultado de dois algoritmos eficientes (um algoritmo para problemas em A que é eficiente em relação a B e vice-versa).
Provar a completude de NP de algum problema é apenas encontrar um algoritmo eficiente para reduzir um problema completo de NP.
O (indiscutivelmente!) Ingrediente crucial no Teorema da Hierarquia de Tempo é uma simulação universal eficiente de máquinas de Turing.
$\not \supset$
O teorema do PCP é que a amplificação eficiente de hiato é possível para problemas de satisfação de restrições.
etc etc.

Minha pergunta (que é irremediavelmente vaga!) É a seguinte: Existem resultados importantes na teoria da complexidade estrutural (distintos dos "meta-resultados", como a barreira da relativização) que não são conhecidos por terem uma interpretação natural em termos de eficiência algoritmos (ou protocolos de comunicação)?

cc.complexity-theory structural-complexity

— Ashley Montanaro
fonte

Espero que a resposta seja "não", porque acho que complexidade é realmente entender o poder dos algoritmos! Eu diria que PARITY não no quase se qualifica, mas agora acho que não. Você pode ver o Lema comutação como um algoritmo aleatório que permite que você troque duas fileiras de um circuito sem um tamanho grande blow-up (e ele pode até mesmo ser derandomized ( eccc.hpi-web.de/report/2012/116 ).

A C^{0}

$AC^0$

— Joshua Grochow

AshleyMontanaro: Talvez a teoria da complexidade esteja ligada "por definição" à eficiência (tempo / espaço) dos algoritmos. Assim que você se afasta da eficiência, encontra resultados fundamentais, como a indecidibilidade do problema de parada, mas não está mais no domínio da "complexidade". No entanto, tentando dar uma resposta parcial, acho que a caracterização lógica das classes de complexidade é um resultado importante que fornece uma perspectiva diferente, não diretamente ligada a "algoritmos".

— Marzio De Biasi

Em particular, eu teria listado a caracterização descritiva de NP em termos de lógica existencial de segunda ordem. Isto é puramente sobre poder expressivo e não é principalmente sobre algoritmos. No entanto, o teorema de Courcelle sugere que essa distinção não é real.

— Suresh Venkat

Você diria que a prova de PARbor Razborov-Smolensky que não está em AC0 contém um resultado algorítmico em seu núcleo? E quanto aos limites inferiores da complexidade das consultas, como o que diz que um computador quântico não pode resolver o problema de busca não ordenada em consultas?

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

— Robin Kothari

veja também cstheory.stackexchange.com/questions/3229/…

— sdcvvc 26/10/12

Para muitos limites mais baixos da complexidade algébrica, não conheço uma interpretação natural em termos de algoritmos eficientes. Por exemplo:

a técnica de derivadas parciais de Nisan e Wigderson
a técnica de Mignon e Ressayre (classificação de Hessian) (dando o limite inferior atualmente mais conhecido em permanente versus determinante)
o limite de grau de Strassen (e Baur-Strassen)
a técnica de componentes conectados de Ben-Or.

Em todos os resultados acima, eles realmente parecem estar usando uma propriedade das funções envolvidas, onde essa propriedade em si parece não ter relação com a existência de qualquer algoritmo em particular (muito menos com um algoritmo eficaz).

Para resultados não algébricos, aqui estão alguns pensamentos:

O argumento de contagem padrão para o limite inferior da classificação não parece ter uma interpretação em termos de algoritmos eficientes. Entretanto, existe uma versão contraditória desse limite inferior [1], na qual existe um algoritmo que, dada qualquer árvore de decisão que utiliza poucas comparações, constrói eficientemente uma lista que a árvore de decisão classifica incorretamente. Mas a versão contraditória, embora não seja difícil, é significativamente mais difícil que a prova de contagem. (Observe que isso é um pouco mais forte do que o que se obtém aplicando a técnica do limite inferior do adversário, por exemplo, como nessas notas , pois em [1] o adversário em si é eficiente .) $n \log n$
Acho que mudei de idéia sobre o PARITY não em (até a prova original, muito menos a prova de Razborov-Smolensky, como apontado por @RobinKothari). Embora o Lemma de Chaveamento possa ser visto como um algoritmo aleatório ( ou determinístico ) que permite trocar duas linhas de um circuito sem uma grande explosão de tamanho, acho que isso realmente tem um sabor diferente do que muitos resultados em complexidade, e especificamente o aqueles que você cita. Por exemplo, a prova de Williams de que o se baseia crucialmente na existência de um bom algoritmo para um problema específico. Por outro lado, se alguém pudesse provar algo como o Lemma de Chaveamento de maneira não construtiva, seria igualmente bom provar PARIDADE que não em . $AC^0$ $ACC \neq NEXP$ $AC^0$

Devido a esses dois últimos exemplos - especialmente a classificação, onde a prova padrão não é construtiva -, parece-me que a pergunta pode não ser apenas sobre interpretações naturais em termos de algoritmos eficientes, mas também de alguma forma sobre a construtividade / eficácia das provas de vários resultados de complexidade (dependendo do que o OP tivesse em mente). Ou seja, o limite inferior da classificação padrão não é construtivo ou algorítmico, mas há uma prova algorítmica construtiva do mesmo resultado.

[1] Atallah, MJ e Kosaraju, SR. Um limite inferior baseado em adversários para classificação . Informar. Proc. Lett. 13 (2): 55-57, 1981.

— Joshua Grochow
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