É possível calcular se duas funções são extensional iguais?

Se você tem duas funções implementando um algoritmo de classificação diferente, é possível inferir pelo código-fonte que ambas possuem as mesmas propriedades externas? Significando que ambos terão uma sequência não classificada possível como entrada e uma sequência classificada como saída? De que maneira essas propriedades externas podem ser determinadas pelo código fonte? E como você descreveria essas propriedades externas? Que notação seria usada?

As propriedades externas podem ser conhecidas, definindo-as explicitamente, por exemplo, dentro de um sistema de tipos, mas estou imaginando se isso poderia ser feito implicitamente. Ou é de alguma forma teoricamente impossível inferir esse tipo de semântica? Estou interessado em saber se isso é possível para funções arbitrárias, não apenas para algoritmos de classificação, assumindo que coisas como funções sempre parem e não tenham efeitos colaterais.

Devo olhar para a semântica denotacional ou não está relacionada?

Estou interessado em indicadores para pesquisar nesta área e em termos diferentes usados ​​para descrever o assunto que pode ajudar na minha pesquisa bibliográfica.

Sim. Se você pode verificar se são iguais, o mesmo ocorre com um computador.

Aqui está uma especificação rápida para uma classificação inteira no Coq:

Inductive natlist : Type :=
| nil : natlist
| cons : nat → natlist → natlist.

Fixpoint is_sorted (l : natlist ) : bool :=
    match l with
    |  nil => true
    |  (cons x nil) => true
    |  (cons x (cons y r)) => if x <= y then is_sorted (cons y r) else false
    end.

...

Theorem sort_spec : forall l, is_sorted (sort_list l).

Uma especificação pode ser codificada diretamente na declaração de classificação usando tipos dependentes.

Para esse problema em particular, John Darlington demonstrou nos anos 70 que 6 famílias de algoritmos de classificação podem ser derivadas transformando mecanicamente a especificação de um tipo em uma implementação; Eu acredito que isso se chama "derivação de programa baseado em semântica".

No mundo da engenharia de software, encontrar funções extensionalmente equivalentes é conhecido como "detecção de clone semântico".

Dave Clarke também deu uma boa resposta a esta pergunta no CS StackExchange: /cs/2059/how-do-you-check-if-two-algorithms-return-the-same-result -for-any-input

Tudo isso se enquadra nos métodos formais e nas linguagens de programação . A semântica denotacional é uma classe de técnicas para modelar a semântica, mas caiu em desuso por ser difícil de usar em comparação com a semântica operacional.

A igualdade extensional em Turing linguagens de programação completas é indecidível em geral, mas isso não deve impedir você de verificar ou falsificar se duas funções específicas são extensionalmente iguais.

$f = g \Leftrightarrow \forall x^{\alpha}. f(x) = g(x)$$f$$g$$\alpha \rightarrow \beta$

Uma resposta rápida (admito que não gastei muito tempo ...) O teorema de Rice diz que, para qualquer questão não trivial, é indecidível dizer se a função calculada por um programa terá a propriedade ou não. Portanto, a questão aqui é indecidível