Quais são os limites da programação funcional total?

Quais são as limitações da programação funcional total? Não está completo com Turing, mas ainda suporta um grande subconjunto dos programas possíveis. Existem construções importantes que você poderia escrever em uma linguagem completa de Turing, mas não em uma linguagem funcional total?

E é correto dizer que os programas escritos em linguagens funcionais totais podem ser completamente analisados ​​estaticamente, enquanto a análise estática em linguagens completas de Turing é limitada por coisas como o problema da parada? Com isso, não quero dizer que em linguagens funcionais totais tudo possa ser determinado estaticamente, porque algumas coisas são conhecidas apenas em tempo de execução, mas quero dizer que, em teoria, programas escritos em uma linguagem de programação funcional total ideal podem ser analisados ​​para que tudo o que poderia, em teoria, ser determinado estaticamente, pode ser determinado estaticamente. Ou ainda existem problemas indecidíveis herdados em linguagens funcionais totais que tornam a análise estática incompleta? Alguns problemas sempre serão indecidíveis, independentemente do idioma em que foram escritos, mas estou interessado em problemas que são herdados pelo idioma,

Depende da linguagem funcional total .

Essa resposta soa como uma imitação, mas nada mais específico pode ser dito. Afinal, considere qualquer programa decidível importante em que esteja interessado. Escreva um programa em seu idioma completo completo de Turing para resolvê-lo. Como o problema é decidível, seu programa será interrompido em todas as entradas.

(Indiscutivelmente, um problema não-decidível pode ter programas interessantes, mas não é o que as pessoas podem usar, porque nunca poderão esperar o tempo suficiente para saber a resposta.)

Agora, defina um novo idioma para que ele tenha apenas um programa de entrada válido: o programa que você acabou de escrever, com a mesma semântica que tinha antes. É certamente total, já que todas as entradas para todos os programas nele escritos (dos quais há apenas um) sempre terminam.

Esse truque barato é realmente útil: a linguagem Coq , por exemplo, é uma linguagem funcional total, na qual nenhum programa verifica tipicamente, a menos que haja uma prova de que ele termina. (Se você renunciasse a esse requisito, ele seria concluído por Turing, portanto o único obstáculo é encontrar uma prova de rescisão.)

Não sei ao certo o que você quer dizer com "tudo o que em teoria pode ser determinado estaticamente pode ser determinado estaticamente"; parece tautologicamente verdadeiro. No entanto, o total de idiomas não é inerentemente fácil de analisar; você sabe que nada diverge, o que é um fato útil, mas a relação entre entrada e saída ainda é complexa. (Em particular, ainda existem infinitamente muitas entradas possíveis, portanto você não pode experimentá-las exaustivamente, mesmo em teoria.)

Quais são as limitações da programação funcional total? Não está completo com Turing, mas ainda suporta um grande subconjunto dos programas possíveis. Existem construções importantes que você poderia escrever em uma linguagem completa de Turing, mas não em uma linguagem funcional total?

$L$$L$$L$

1. $L$$L$$L$$L$é consistente. É exatamente isso que o teorema de Goedel exclui, supondo que você possa fazer aritmética. Portanto, sabemos que não podemos escrever auto-intérpretes em linguagens funcionais totais.

2. O outro lado disso, porém, é que os limites do poder expressivo da linguagem total são essencialmente os limites do poder expressivo da própria matemática . Por exemplo, as funções definíveis no Coq (um assistente de prova) são aquelas que podem ser comprovadas como computáveis ​​usando o ZFC, com muitos cardeais inacessíveis. Portanto, essencialmente qualquer função que você possa provar total para a satisfação de um matemático que trabalha é definível na Coq.

3. O outro lado da outra parte é que a matemática é difícil! Portanto, não há nenhum senso fácil em que o total de idiomas é "completamente analisável" - mesmo que você saiba que uma função é encerrada, talvez seja necessário muito trabalho criativo para provar que ela possui uma propriedade que você deseja. Por exemplo, apenas saber que uma função de listas para listas é total, não leva muito longe em provar que é uma função de classificação ....