Quais são as consequências de

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Sabemos que $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ e que $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ , em que $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ . Nós também sabe que $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ porque o último tem problemas completos no espaço logarítmico, muitas reduções, enquanto o primeiro não (devido ao teorema da hierarquia espacial). A fim de entender a relação entre a $\mathsf{polyL}$ e $\mathsf{P}$ , que pode ajudar a primeira compreender a relação entre $\mathsf{L}^2$ e $\mathsf{P}$ .

Quais são as consequências de $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$ ?

E quanto mais forte $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ para $k>2$ , ou o mais fraco $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ para $\epsilon > 0$ ?

— argentpepper
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4

@ OrMeir Recentemente, adicionei uma explicação desse fato ao artigo da Wikipedia para polyL .

— Argentpepper

13

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

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Boa pergunta! Eu acho que definitivamente vale a pena. Btw, aqui está uma observação simples, se , então . Portanto, temos um algoritmo mais eficiente para CNF-SAT e refutamos ETH (hipótese do tempo exponencial).

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$

— Michael Wehar

3

Após o comentário de @ MichaelWehar, a implicação segue de um argumento de preenchimento padrão que se estende a hipóteses mais fracas: se estiver em , qualquer problema que possa ser resolvido no espaço linear (incluindo o problema de satisfação) pode seja resolvido no tempo .

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$

P

$P$

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$

— Argentpepper 5/05

3

@SajinKoroth: Eu acho que o seu comentário, assim como (de argentpepper follow-up e) de Michael Wehar deve ser respostas ...

— Joshua Grochow

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A consequência a seguir é óbvia: implicaria e, portanto, . $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

Pelo teorema da hierarquia espacial, . Se então . $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— Sajin Koroth
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Pequena nota de rodapé: Se , então temos ou .

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Michael Wehar

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$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ refutaria a hipótese do tempo exponencial .

Se seguida, por um argumento de preenchimento . Isso significa que o problema de satisfação pode ser decidido em etapas, refutando a hipótese do tempo exponencial. $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

De maneira mais geral, para implica . $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

(Esta resposta foi expandida a partir de um comentário de @MichaelWehar.)

— argentpepper
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Obrigado por expandir o comentário! Eu agradeço. :)

— Michael Wehar

1

Além disso, a última hipótese também implica que o esteja no DSPACE ( ) DTIME ( ).

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Michael Wehar

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O isomorfismo de grupo (com grupos dados como tabelas de multiplicação) estaria em P. Lipton, Snyder e Zalcstein mostrou que esse problema está em , mas ainda está aberto se está em P. O melhor limite superior atual O tempo é e, como se reduz ao isomorfismo do gráfico, representa um obstáculo significativo para colocar o iso do gráfico em P. $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

Me faz pensar em que outros problemas naturais e importantes isso se aplicaria: isto é, em mas com seu tempo mais conhecido quase polinomial no limite superior. $\mathsf{L}^2$

— Joshua Grochow
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1

Mais especificamente, o problema mais geral do isomorfismo do quase-grupo está em , que é uma subclasse de .

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— argentpepper 25/01/18

1

Além disso, o problema de classificação do grupo (dado um grupo finito G como uma tabela de multiplicação e um número inteiro k , G tem um conjunto gerador de cardinalidade k ?) Também possui essa propriedade. O algoritmo é apenas uma pesquisa nos subconjuntos de G da cardinalidade k, mas usa dois fatos importantes: (1) cada grupo finito possui um conjunto gerador de tamanho logarítmico e (2) a associação ao subgrupo está em , que é igual a .

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— Argentpepper

1

Reivindicação: Se para alguns , e . $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

Suponha que para alguns . $L^k \subseteq P$ $k > 2$

Em " Limites de memória para reconhecimento de linguagens livres de contexto e sensíveis ao contexto ", sabemos que . Pelo teorema da hierarquia espacial, sabemos que . $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

Por conseguinte, temos . $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

Além disso, pelo Teorema de Savitch, sabemos que . Portanto, temos . $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— Michael Wehar
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