Quão perto podemos chegar da multiplicação linear, adição e comparação (em números inteiros)?

De acordo com o artigo "Connect the Stars" , de KW Regan , ele menciona no final que ainda é um problema em aberto encontrar uma representação de números inteiros, de modo que as operações de adição, multiplicação e comparação sejam computáveis em tempo linear:

Existe uma representação de números inteiros para que adição, multiplicação e comparação sejam factíveis em tempo linear? Basicamente, existe um anel de tempo linear discretamente ordenado?

(1) Quão perto podemos chegar da multiplicação e adição linear de tempo, sem comparação? Aqui, presumo que os tamanhos dos problemas possam variar, para que possamos precisar de uma estrutura / algoritmo de dados que permita alterar tamanhos inteiros.

(2) Para o problema completo, podemos assumir que encontraremos um esquema ideal para multiplicar, adicionar e comparar os números inteiros. A que distância podemos chegar a mais lenta dessas três operações (no pior caso) em relação ao tempo linear? E nessa nota, com que rapidez seriam as outras operações?

DECLARAÇÃO FORMAL DE PROBLEMAS

Como menciona Emil Jeřábek, gostaríamos de descartar casos triviais e nos concentrar no pior caso possível para essa pergunta.

Por isso, pedimos, por inteiros não negativos e onde e , podemos encontrar uma estrutura de dados / algoritmo que pode realizar adição, multiplicação, e compara com \ entre e no tempo e ? $\forall x$ $\forall y$ $0 \le x < n$ $0 \le y < n$ $x$ $y$ $O(n \log{(n)})$ $O(\log^2{(n)})$

ds.algorithms ds.data-structures worst-case

— Matt Groff
fonte

Mencionarei que é possível criar um esquema que execute essas operações no tempo

em números inteiros não negativos, em que

é o tamanho do bit do maior número inteiro (supondo que sabemos

antecipadamente). Gostaria de saber se podemos fazer melhor, e fazemos isso em tempo proporcional ao número inteiro atual que está sendo calculado.

Θ (n)

$\Theta(n)$

n

$n$

n

$n$

— precisa

@TysonWilliams: Sim! Binário!

— Jeffε

Em vez de obter tempo linear para todas essas operações, existe uma representação de números inteiros para que todas essas operações tenham tempo

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— Emil Jeřábek apoia Monica

Na verdade, há uma resposta positiva trivial: represente números inteiros em binário com

bits de preenchimento. A declaração não deve incluir alguma condição para o efeito de que a representação deve ter comprimento linear no comprimento da representação binária?

n^{2}

$n^2$

— Emil Jeřábek apoia Monica

@ EmilJeřábek: Suponho que ele queira que a representação de qualquer número inteiro

use

bits, para alguma função

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) = Θ (\log n)

$f(n)=\Theta(\log n)$

— Jeffε

Provavelmente não é a melhor resposta, mas talvez este seja um ponto de partida útil. Se desejarmos representar um número inteiro não negativo, podemos armazená-lo como um conjunto de números primos seqüenciais do módulo de resíduos a partir de 2. Nesta forma de comparação, a comparação é potencialmente difícil, mas a multiplicação e adição podem ser feitas rapidamente. O produto dos primeiros primos é aproximado por Portanto, para representar um número inteiro é necessário que os resíduos sejam os primeiros primos, em que $n$

p_{n} # = \exp ((1 1 + o (1 1)) n registro n) .

$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$

N

$N$

n

$n$

. Como podemos representar qualquer

usando o módulo de resíduos, os primeiros

resíduos primos, podemos tomar

. A adição e multiplicação podem ser feitas diretamente entre pares de resíduos. Existem

pares desse tipo, com o número máximo de primos em torno de

. Assim, a adição deve estar em

N < \exp ((1 + o (1)) n \log n)

$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$

N < p_{n} #

$N<p_n\#$

n

$n$

n \log n \propto \log (N)

$n \log n \propto \log(N)$

n

$n$

n \log (n)

$n\log(n)$

, enquanto multiplicação através Schonhage-Strassen deve ser em

. Como

, então uma aproximação aproximada fornece

O (n \log \log (N))

$O(n\log\log(N))$

O (n \log \log (N) \log \log \log \log (N) \log \log \log (N))

$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$

n \log n \propto \log N

$n \log n \propto \log N$

n

$n$

O (\log N / \log \log N)

$O(\log N/\log\log N)$ . Isto daria a complexidade de adição e multiplicação como aproximadamente

O (\log N)

$O(\log N)$

O (\log N \log \log \log N \log \log \log \log N)

$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$

— Joe Fitzsimons
fonte

veja também teorema do restante chinês

— vzn 16/11/12

@vzn: Sim, eu mencionaria isso para comparações, mas ocorreu-me que poderia haver uma operação de comparação mais rápida por meio de uma representação de mistura mista.

— 9118 Joe Fitzsimons