Dureza do CLIQUE parametrizado?

Seja $0\le p\le 1$ e considere o problema de decisão

CLICK p entrada: número inteiro s , gráfico G com t vértices e arestas Pergunta: O conter uma clique sobre, pelo menos, vértices?$_p$
$s$$G$$t$$\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$$s$

Uma instância de CLIQUE $_p$ contém uma proporção $p$ de todas as arestas possíveis. Claramente CLIQUE $_p$ é fácil para alguns valores de $p$ . CLIQUE $_0$ contém apenas gráficos completamente desconectados e CLIQUE $_1$ contém gráficos completos. Nos dois casos, CLIQUE $_p$ pode ser decidido em tempo linear. Por outro lado, para valores de $p$ próximos a $1/2$ , CLIQUE $_p$ é NP-difícil devido a uma redução do próprio CLIQUE: essencialmente, é suficiente para adotar a união disjunta com o gráfico de Turán $T(t,s-1)$ .

Minha pergunta:

CLIQUE $_p$ está em PTIME ou NP-complete para todos os valores de $p$ ? Ou existem valores de $p$ para os quais CLIQUE $_p$ possui complexidade intermediária (se P ≠ NP)?

Essa questão surgiu de uma questão relacionada aos hipergráficos, mas parece interessante por si só.

Suponho que o número na definição do problema CLIQUE _p seja exatamente igual ao número de arestas no gráfico, diferentemente do comentário do gphilip à pergunta.$\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

O problema CLIQUE _p é NP-completo para qualquer constante racional 0 < p <1 por uma redução do problema CLIQUE usual. (A suposição de que p é racional é necessária apenas para que possa ser calculado a partir de N no polinômio de tempo em N ).$\lceil pN \rceil$

Seja k ≥3 um número inteiro que satisfaça k ² ≥1 / pe (1−1 / k ) (1−2 / k )> p . Dado um gráfico G com n vértices e m arestas juntamente com um valor limite s , a redução funciona da seguinte maneira.

1. Se s < k , resolvemos o problema da CLIQUE no tempo O ( n ^s ). Se houver um clique de tamanho pelo menos s , produzimos uma instância sim fixa. Caso contrário, produzimos uma não instância fixa.
2. Se n < s , produzimos uma não instância fixa.
3. Se n ≥ s ≥ k , adicionamos ao gráfico de partições G a ( k −1) onde cada conjunto consiste em n vértices que possuem exatamente arestas e produza este gráfico.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Observe que o caso 1 leva tempo O ( n ^{k −1} ), que é polinomial em n para cada p . O caso 3 é possível porque se n ≥ s ≥ k , então é não-negativo e, no máximo, o número de arestas no total ( k −1) -partite gráfico K _{n ,…, n} como mostrado nas duas reivindicações a seguir.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Reivindicação 1 . .$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

Prova . Como , basta provarmos ou equivalentemente pnk ( nk −1) ≥ n ( n -1). Como p ≥ 1 / k ² , temos pnk ( nk −1) ≥ n ( n −1 / k ) ≥ n ( n −1). QED . p ( n$m \le \binom{n}{2}$$p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

Reivindicação 2 . . (Observe que o lado direito é o número de arestas no gráfico completo (K − 1) de partes de K _{n ,…, n} .)$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

Prova . Como e m ≥ 0, basta provarmos ou equivalentemente n ² ( k −1) ( k −2) - pnk ( nk −1) - 2 ≥ 0. Como p <(1−1 / k ) (1−2 / k ), temos QED .p ( n $\lceil x \rceil \lt x+1$ n2(k-1)(k-2)-pnk(nk-1)-2≥n2(k-1)(k-2)-n(n$p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

Editar : a redução na revisão 1 teve um erro; às vezes exigia um gráfico com número negativo de arestas (quando p era pequeno). Este erro foi corrigido agora.

Se pode ser uma função de t , então o problema pode ser intermediário. Configure p para que o número de arestas seja log 4 t . Então, obviamente, s pode ter no máximo log 2 te, portanto, existe um algoritmo t log 2 t para esse problema, o que significa que o problema (sob suposições padrão, digamos que SAT não possui algoritmos subexponenciais) não pode ser difícil para NP.$p$$t$$p$$\log^4 t$$s$$\log^2 t$$t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

$p$