Otimização do algoritmo de Grover com alta probabilidade de sucesso

É sabido que a complexidade da consulta quântica de erro limitado da função é . Agora, a questão é: se queremos que nosso algoritmo quântico seja bem-sucedido para cada entrada com probabilidade em vez dos usuais . Agora, em termos de quais seriam os limites superior e inferior apropriados? $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

É imediato que as consultas suficientes para esta tarefa, repetindo o algoritmo Grover. Mas pelo que me lembro, isso não é de todo ideal, já que o algoritmo Grover simples, se executado com cuidado, ou seja, para um número apropriado de iterações, pode obter algo como com apenas iterações. E, portanto, usá-lo pode obter uma melhoria para todos os 's. Por outro lado, não espero que seja a resposta certa para 's muito pequenos . $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

Mas estou interessado em ver o que se pode mostrar em termos dos limites superior e inferior dependentes de para diferentes intervalos de especialmente quando é muito pequeno, digamos ou para 's grandes . $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

(Para dar algum contexto, o fenômeno geral que estou abordando é a amplificação no contexto da complexidade quântica de consultas.)

— Mohammad Bavarian
fonte

Este trabalho deve fornecer respostas às suas perguntas: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous

Hmmm, agora estou um pouco confuso no caso de . Parece que este artigo arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf afirma que com cerca de iterações é possível obter um resultado de alta probabilidade, como . (página 2 parte inferior da primeira coluna) Por outro lado, o artigo que você mencionou diz, na página 4 final da seção 3, que probabilidade de falha é impossível para consultas .

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

— Mohammad Bavarian

@ MohammadBavarian: Eu acho que é apenas no caso em que o número de soluções é conhecido (ou existe uma solução única).

— 22412 Robin Kothari

Por uma questão de integridade, aqui está uma resposta.

Seja a complexidade quântica de consultas error de calcular uma função e seja a função OR em bits, definida como . (Observe que isso é diferente do problema em que você promete que a entrada possui exatamente um 1 e o objetivo é descobrir que 1. Esse problema pode ser resolvido sem nenhum erro nas consultas .) $Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ $\Theta(\sqrt{n})$

Então temos para todos , $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Segue Limites para algoritmos quânticos de erro pequeno e erro zero .

De fato, sabemos algo mais geral. Para todas as funções simétricas , que são funções que dependem apenas do peso de Hamming da entrada, temos isso para todos , $f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Isso foi mostrado em uma nota sobre algoritmos quânticos e o grau mínimo de polinômios de erro épsilon para funções simétricas .

— Robin Kothari
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