Resultados de complexidade para funções recursivas do ensino fundamental inferior?

Intrigado com a interessante pergunta de Chris Pressey sobre funções elementares-recursivas , eu estava explorando mais e não consegui encontrar uma resposta para essa pergunta na web.

As funções recursivas elementares correspondem muito bem à hierarquia exponencial, . $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$

Parece direto da definição que os problemas de decisão decidíveis (termo?) Pelas funções complementares inferiores devem estar contidos em EXP e, de fato, em DTIME ; essas funções também são restritas a seqüências de saída lineares em seu comprimento de entrada [1]. $(2^{O(n)})$

Mas, por outro lado, não vejo limites inferiores óbvios; À primeira vista, parece concebível que LOWER-ELEMENTARY possa conter estritamente NP, ou talvez não consiga conter alguns problemas em P, ou provavelmente alguma possibilidade que eu ainda não tenha imaginado. Seria incrivelmente legal se LOWER-ELEMENTARY = NP, mas suponho que isso seja pedir demais.

Então, minhas perguntas:

Até agora, meu entendimento está correto?
O que se sabe sobre as classes de complexidade que limitam as funções recursivas elementares inferiores?
(Bônus) Temos boas caracterizações de classe de complexidade ao fazer mais restrições às funções recursivas? Eu estava pensando, em particular, na restrição de somatórios, que eu acho que rodam em tempo polinomial e produzem saída linear; ou somatórios de limite constante, que eu acho que correm no tempo polinomial e produzem saída de comprimento no máximo . $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]: Podemos mostrar (acredito) que funções elementares inferiores estão sujeitas a essas restrições por indução estrutural, supondo que as funções tenham complexidade , deixando , cada tem saída de comprimento , então tem uma entrada de comprimento (e, portanto, $h,g_1,\dots,g_m$ e saídas com comprimento de bitem uma entrada de comprimento. Quando $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ saída com comprimento ); a complexidade de calcular todos os s é e de é , então tem complexidade $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ e saída de comprimento como reivindicado. $O(n)$

Quando , o s têm saídas de comprimento $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ , de modo que o valor da soma das saídas é , portanto, sua soma tem comprimento . A complexidade de somar esses valores é limitada por (o número de somas) vezes $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ (a complexidade de cada adição) dando , e a complexidade da computação das saídas é limitada por (número de cálculos) vezes (a complexidade de cada uma), dando . Portanto, tem complexidade e saída de comprimento conforme reivindicado. $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

— usul
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O artigo da Wikipedia ao qual você vincula afirma que as funções elementares inferiores têm crescimento polinomial (mas não fornece referência.) Mostrar que um problema com P completo pode ou não pode ser resolvido com funções elementares seria um bom passo para reduzi-lo ainda mais. Não parece impossível simular uma máquina de Turing para n etapas - talvez uma soma limitada correspondendo ao número de etapas de outra soma limitada correspondente a cada transição de estado?

— quer

@ Chris - Meu palpite era que "crescimento polinomial" refere-se ao número de bits na saída que não é mais do que linear no número de bits na entrada. Concordo que a simulação parece muito plausível e factível em tempo polinomial (mas pode levar alguns detalhes para verificar isso!).

— 9788 us $

Desculpe, essa primeira parte pode não estar clara, mas é porque, na entrada do valor

a saída tem um valor no máximo polinomial em

x

$x$

x

$x$

— usul 9/12/12

Em relação à pergunta 3: as funções definíveis na variante com

\log (x)

$\log(x)$ somatório ligado estão todas na classe de complexidade uniforme

. Com a soma limitada constante, você obtém uma subclasse do uniforme

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen

@ Xoff Eu acredito que está tudo no somatório: estamos somando de

, onde (em uma entrada de

bits)

pode ter tamanho

, então nossa soma será

vezes o tamanho de cada somatório.

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul 27/03

Em relação à questão (bônus) 3: as funções definíveis na variante com somatório ligado a estão todas na classe de complexidade uniforme . Isto decorre da construção em Chandra, Stockmeyer e Vishkin "Redutibilidade constante da profundidade", SIAM J. Comput. 13 (1984) mostrando que a soma de números de bits cada pode ser calculada por circuitos de profundidade constante de tamanho ponomial com portas majoritárias. $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$

Com a soma limitada constante, você obtém uma subclasse do uniforme . A soma limitada constante pode ser reduzida à adição e composição, e a adição pode ser calculada por circuitos booleanos de profundidade constante usando o método carry-lookahead. $\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen
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"As funções elementares inferiores estão em EXP " está correta. Eles estão de fato em DPSPACE ( n ); como pode ser visto, por exemplo, a partir da indução estrutural.
É mostrado aqui [1] que a satisfação booleana SAT está no nível mais baixo E ₀ da hierarquia de Grzegorczyk, ou seja, com recursão limitada em vez de somatória limitada.

[1] Cristian Grozea: NP predicados computáveis no nível mais fraco da hierarquia Grzegorczyck (sic!). Journal of Automata, Languages and Combinatorics 9 (2/3) : 269-279 (2004).

A idéia básica é codificar a fórmula dada de comprimento binário n em um número inteiro N de valor aproximadamente exponencial em n ; e depois expressar a existência de uma atribuição satisfatória em termos de quantificação limitada pelo referido N (em vez de n ).

Este método parece transitar de E ₀ de Baixa elementar
(e generalizar a partir de sab para QBF _k para arbitrária mas fixo k ).

Não implica que E ₀ contenha NP (ou mesmo P para que o assunto), no entanto, porque os cálculos polytime são conhecidos por deixar E ₂ .

— Martin Ziegler
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