Solucionadores ideais de NP

Corrija um problema de pesquisa completo do NP, por exemplo, o formulário de pesquisa do SAT. A pesquisa de Levin fornece um algoritmo para resolver que é ótimo em algum sentido. Especificamente, o algoritmo é "Execute todos os programas possíveis com a entrada , uma vez que algum retorne a resposta testa se está correto". É ótimo no sentido de que, dado um programa que resolve com complexidade de tempo , a complexidade de tempo de satisfaz $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

onde é um polinômio fixo que depende do modelo de computação preciso $p$

$L$ A otimização de pode ser formulada de uma maneira um pouco mais forte. Ou seja, para cada e um programa que resolve com a promessa no tempo , a complexidade de tempo de restrita às entradas em satisfaz $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

onde é um polinômio fixo. A diferença crucial é que pode ser, por exemplo, polinomial, mesmo que $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

A óbvia "fraqueza" de é o grande fator nesse limite. É fácil ver que, se houver um algoritmo que satisfaça um limite da mesma forma com substituído por um polinômio em então . Isso ocorre porque podemos considerar como um programa que resolve uma determinada instância do codificando a resposta. Da mesma forma, se pode ser substituído por uma função subexponencial de $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ então a hipótese de tempo exponencial é violada. No entanto, a resposta à seguinte pergunta é menos óbvia (para mim):

Assumindo a hipótese do tempo exponencial e outras conjecturas conhecidas (por exemplo, não degeneração da hierarquia polinomial, existência de funções unidirecionais), se necessário, existe um algoritmo resolve st para cada e um programa que resolve com a promessa no tempo , a complexidade do tempo de restrita às entradas em satisfaz $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
onde é polinomial, é subexponencial é arbitrário $q$ $f$ $g$

Se a resposta for positiva, pode ser polinomial? Qual é a taxa de crescimento de (claramente pelo menos exponencial sob ETH)? Se a resposta for negativa, o polinômio pode existir se ETH estiver errado, mas ? $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— Vanessa
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Considere o seguinte algoritmo (uma variante do algoritmo de Levin):

$n$

Pare quando um dos algoritmos encontrar uma solução.

$x$ $n$

$Q$ $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
$Q$ $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

$f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— Yury
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2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$