Elementos mínimos de um predicado monotônico sobre o conjunto de potências

Considere um predicado monotônico $P$ sobre o conjunto de potências $2^{|n|}$(ordenado por inclusão). Por "monotônico", quero dizer: $\forall x, y \in 2^{|n|}$tal que $x \subset y$ , se $P(x)$ então $P(y)$ . Eu estou procurando um algoritmo para encontrar todos os elementos mínimos de $P$ , ou seja, a $x \in 2^{|n|}$tal que $P(x)$mas $\forall y \subset x$ , $\neg P(y)$ . Desde a largura de $2^{|n|}$é $n \choose n/2$ , pode haver exponencialmente muitos elementos mínimos e, portanto, o tempo de execução desse algoritmo pode ser exponencial em geral. No entanto, poderia existir um algoritmo para esta tarefa que seja polinomial no tamanho da saída?

[Contexto: Uma pergunta mais geral foi feita, mas não houve tentativa nas respostas para avaliar a complexidade do algoritmo no tamanho da saída. Se eu presumo que existe apenas um elemento mínimo, por exemplo, posso executar uma pesquisa binária após esta resposta e encontrá-la. No entanto, se eu quiser continuar encontrando elementos mais mínimos, preciso manter as informações atuais que tenho sobre $P$ forma a torná-lo tratável para continuar a pesquisa sem perder tempo com o que já é conhecido. É possível fazer isso e encontrar todos os elementos mínimos em tempo polinomial no tamanho da saída?]

Idealmente, gostaria de entender se isso pode ser feito com DAGs gerais, mas já não sei como responder à pergunta por $2^{|n|}$ .

Seu problema é conhecido na literatura de aprendizado como "aprendendo funções monótonas usando consultas de associação". Uma classe de funções monótonas para as quais é possível identificar todos os mintermos é conhecida como "polinomialmente aprendível usando consultas de associação".

Parece que a existência de um algoritmo de tempo polinomial ainda está aberta. Schmulevich et al. provar que "quase todas as funções booleanas monótonas são polinomialmente aprendidas usando consultas de associação". Se também exigem que o th mintermo ser gerado em tempo polinomial em e , em seguida, o problema é equivalente a dualização monótona, como mostrado por Bioch e Ibaraki . Aqui está uma pesquisa que aborda a dualização monótona.n $t$$n$$t$