Os bairros acolhedores de "P" e "NP-hard"

Seja uma tarefa algorítmica. (Pode ser um problema de decisão, um problema de otimização ou qualquer outra tarefa.) Vamos chamar "do lado polinomial" se assumir que é NP-difícil implica que a hierarquia polinomial entra em colapso. Vamos chamar "do lado do NP" se supor que admite que um algoritmo polinomial implica que a hierarquia polinomial entra em colapso.X X X $X$$X$$X$$X$$X$

Obviamente, todo problema em P está no lado polinomial e todo problema que é difícil de NP está no lado de NP. Além disso, por exemplo, fatoração (ou qualquer coisa na interseção NP coNP) está no lado polinomial. O isomorfismo do gráfico está no lado polinomial. A QUANTUM-SAMPLING está no lado NP.

1) Estou interessado em mais exemplos (o mais natural possível) de tarefas algorítmicas no lado polinomial e (especialmente) em mais exemplos no lado NP.

2) Ingenuamente, parece que o lado NP é uma espécie de "vizinhança" dos problemas difíceis de NP, e o lado P é um "bairro de P". É uma visão correta considerar os problemas no lado NP como "consideravelmente mais difíceis" em comparação com os problemas no lado P. Ou até mesmo considerar os problemas do lado do NP como "moralmente difíceis do NP"?

3) (Isso pode ser óbvio, mas não o vejo). Existe um em ambos os lados ou há razões teóricas para acreditar que esse é improvável. Atualização A resposta é SIM; veja a resposta de Yuval Filmus abaixo.$X$$X$

(Se esses "lados" estiverem relacionados a classes de complexidade reais e se eu perder algum jargão cc ou resultados relevantes, informe-me.)

Atualizar:Atualmente, existem várias respostas muito boas para a pergunta. Como observado inicialmente por Yuval Filmus e mencionado novamente, a questão não é formal e é necessária alguma restrição ao argumento que mostra que X está no lado P / lado NP. (Caso contrário, você pode fazer com que X seja a tarefa de apresentar uma prova para 0 = 1, que está nos dois lados.) Colocando isso de lado, pode ser que os problemas X (genuinamente) no lado NP capturem de alguma forma a dureza do SAT, embora isso também possa ser o caso de alguns problemas no lado P, onde a dureza do SAT é enfraquecida (mesmo que ligeiramente) de uma maneira comprovada. Yuval Filmus deu uma versão enfraquecida do SAT, que é de ambos os lados. Andy Drucker deu (em duas respostas) cinco exemplos interessantes, incluindo uma referência às hierarquias baixa e alta de Schöning, e Scott Aaronson deu outros exemplos interessantes, mencionou a questão de inverter uma função unidirecional que está próxima de capturar a dureza NP e ainda no lado P, e sua resposta também discute o interessante caso de QUANTUMSAMPLING. Eu encontrei um resultado antigo desse tipo por Feige e Lund.

Os próprios termos "do lado P" e "do lado NP", e, é claro, o título da pergunta, incentivam-nos a imaginar um "bairro acolhedor" em torno de P e outro "bairro acolhedor" em torno dos problemas difíceis do NP. No entanto, eu gostaria de argumentar que esses dois bairros não são tão "acolhedores"!

Como uma primeira observação, existem problemas "do lado P" que parecem "moralmente" muito mais próximos do NP-difícil do que do P. Um exemplo, antecipado por Gil, é claro, é o problema geral de inversão de funções unidirecionais ( dependendo exatamente de que tipo de redução é permitida; veja Bogdanov-Trevisan ou Akavia et al.).

Por outro lado, também existem problemas "do lado do NP" que parecem "arbitrariamente longe" de serem difíceis do NP. Um exemplo bobo é uma linguagem aleatória L, com probabilidade 1 acima de L! Pois se esse L está em P, então 0 = 1 e a matemática é inconsistente e, portanto, o PH também entra em colapso. ;-D

(Observe que uma linguagem aleatória L também está "do lado P", com probabilidade 1 acima de L. Para quase todos esses Ls tem a propriedade de que, se forem NP-hard, NP⊆BPP e PH entram em colapso. E isso dá uma prova, muito mais simples do que o apelo ao Teorema de Ladner, de que existem línguas dos dois "lados". Na verdade, mostra que, da infinidade incontável de línguas, "quase todas" - na verdade, 100% - estão em ambos os lados!)

Parece jogo juvenil, mas há uma lição séria que eu gostaria de tirar. Eu argumentaria que, embora o QUANTUM SAMPLING esteja formalmente "do lado do NP", esse problema quase não está mais próximo de ser "moralmente do NP" do que a linguagem aleatória L. Arkhipov e eu (e independentemente, Bremner-Jozsa-Shepherd) mostraram que, se QUANTUM SAMPLING estiver em P (ou melhor, no SampBPP, a classe de problemas de amostragem polinomialmente solucionáveis), então P ^#P = BPP ^NP e, portanto, o a hierarquia polinomial entra em colapso. No entanto, se você é uma máquina BPP, um oráculo para a BosonSampling, até onde sabemos, não o aproximará da solução de problemas completos de NP do que um oráculo aleatório. Somente se você já tiver a capacidade de resolver problemas completos de NP - por exemplo,Máquina ^NP - você "percebe" que o oracle BosonSampling aumenta ainda mais seus recursos, para #P. Mas a propriedade de aumentar o NP até #P parece diferente e, talvez até "ortogonal a", a propriedade de ser um NP rígido por conta própria.

Aliás, um maravilhoso problema aberto sugerido pela pergunta de Gil é se o BosonSampling também está "do lado P". Ou seja, podemos mostrar que, se o NP se reduzir ao BosonSampling, o PH entrará em colapso? Embora eu esteja perdendo algo óbvio, à primeira vista não tenho idéia de como provar isso, assim como não sei como provar a implicação mais forte de que, se NP ⊆ BQP, o PH entra em colapso.

Dois comentários, nenhum dos quais equivalem a uma resposta, mas podem fornecer algumas leituras adicionais úteis.

1) Schöning definiu duas classes de problemas de PN denominados "Baixa Hierarquia" e "Alta Hierarquia", que estão relacionados às suas noções. Em particular, os problemas no LowH estão "no lado P" e os problemas no HighH estão no lado NP. Vários resultados bem conhecidos em complexidade podem ser declarados nesta estrutura. Por exemplo, o teorema de Karp-Lipton diz que NP não está em P / poli, a menos que o PH entre em colapso; isso é uma conseqüência do fato de que NP P / poli está contido em um nível fixo de LowH (como mostra a técnica de prova de Karp-Lipton). Observe que não esperamos que NP ∩ P / poli ou LowH esteja contido em P. Para uma pesquisa sobre LowH em particular, consulte$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

2) Considere o problema em que recebemos uma tabela completa da verdade de uma função booleana e perguntamos se ela possui um circuito booleano de algum tamanho . Esse problema está em NP e é improvável que esteja em P (implicaria várias conseqüências surpreendentes). Por outro lado, uma prova de completude do NP para esse problema, se ele obedecer a certas restrições bastante naturais, nos daria novos e poderosos resultados na teoria da complexidade. Isso foi demonstrado por Kabanets e Cai em$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Para ser claro, não há evidências reais de que esse problema não seja difícil para o NP ou que seja fácil em qualquer sentido. Mas parece bem diferente de outros problemas difíceis no NP. Eu acho que esse é um dos candidatos mais interessantes para problemas intermediários de NP, e não um que seja bem conhecido.

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Em resposta a uma pergunta de Bodlaender, Downey, Fellows e Hermelin, foi demonstrado por Fortnow e Santhanam que tal redução de compactação é improvável, porque entraria em colapso a Hierarquia Poli:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

O resultado foi aplicado a reduções aleatórias, permitindo erro unilateral. Eu provei um resultado correspondente para erro nos dois lados em

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Cada um desses documentos fornece informações mais fortes e específicas do que os resultados citados acima.)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Cheguei a este resultado por Feige e Lund, que mostra que, a menos que a hierarquia polinomial colapse, é difícil adivinhar informações ainda muito parciais sobre a permanente de uma matriz aleatória.

Uriel Feige e Carsten Lund, Sobre a dureza da computação, a permanente das matrizes aleatórias. Complexidade Computacional 6 (1996/1997) 101-132.

Permitam-me também mencionar dois resultados relevantes adicionais trazidos à minha atenção por Uri Feige:

Os dois documentos a seguir aplicam isso no contexto da kernelização (algoritmos tratáveis ​​de parâmetros fixos).

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin: Sobre problemas sem núcleos polinomiais. J. Comput. Syst. Sci. 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: Inviabilidade de compactação de instância e PCPs sucintos para NP. J. Comput. Syst. Sci. 77 (1): 91-106 (2011)