Uma extensão do operador de ruído

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Em um problema em que estou trabalhando, uma extensão do operador de ruído surge naturalmente e fiquei curioso para saber se houve trabalho anterior. Primeiro, deixe-me revisar o operador de ruído básico $T_{\varepsilon}$ nas funções booleanas com valor real. Dada uma função e , st , , definimos como $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ $\varepsilon$ $p$ $0 \leq \varepsilon \leq 1$ $\varepsilon = 1 - 2p$ $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ é a distribuição em $y$ obtida pela configuração de cada bit de um vetor de $n$ bits como $1$ independentemente, com probabilidade $p$ e $0$ caso contrário. Equivalentemente, podemos pensar nesse processo como lançando cada bit de $x$ com probabilidade independente $p$ . Agora, esse operador de ruído possui muitas propriedades úteis, incluindo ser multiplicativo $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ e ter bons autovalores e autovetores ( $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ onde $\chi_S$ pertence à base de paridade).

Deixe-me agora definir minha extensão de $T_\varepsilon$ , que eu como $R_{(p_1,p_2)}$ . $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ é dado por $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ . Mas aqui nossa distribuição $\mu_{p,x}$ é tal que os $1$ bits de $x$ para $0$ com probabilidade $p_1$ e $0$ bits de $x$ para $1$ com probabilidade $p_2$ . ( $\mu_{p,x}$ agora é claramente uma distribuição dependente de $x$ que a função é avaliada e se $p_1 = p_2$ então $R_{(p_1,p_2)}$ reduz para o operador de ruído 'regular'.)

Eu estava pensando, esse operador $R_{(p_1,p_2)}$ já foi bem estudado em algum lugar da literatura? Ou são óbvias as propriedades básicas disso? Estou apenas começando com a análise booleana, então isso pode ser direto para alguém mais familiarizado com a teoria do que eu. Em particular, estou interessado em saber se os autovetores e autovalores têm alguma boa caracterização ou se existe alguma propriedade multiplicativa.

boolean-functions fourier-analysis

— Amir
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Vou responder a segunda parte da pergunta.

I. Valores próprios e funções próprias

Vamos primeiro considerar o caso unidimensional . É fácil verificar se o operador possui duas funções próprias: e com os autovalores e , respectivamente. $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

Agora considere o caso geral. Para , deixe . Observe que é uma função própria de . De fato, como todas as variáveis são independentes, temos $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

Concluímos que é uma função própria de com valor próprio para cada . Como as funções abrangem todo o espaço, não possui outras funções próprias (que não são combinações lineares de ). $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $\xi_S(x)$

II Propriedade multiplicativa

Em geral, a “propriedade multiplicativa” não se aplica a pois a base própria de depende de e . No entanto, temos que e . Para verificar isso, primeiro observe que e têm o mesmo conjunto de funções próprias . Temos, desde $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1 1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1 1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

R_{p_{1 1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 1 - p_{1 1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 1 - p_{1 1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1 1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 1 - p_{1 1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 1 - p_{1 1} \cdot (2 - (p_{1 1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1 1} + p_{2})) \\ = 1 1 - (p_{1 1} + p + 2) (2 - (p_{1 1} + p_{2})) \\ = 1 1 - 2 (p_{1 1} + p_{2}) + (p_{1 1} + p_{2})^{2} = (1 1 - p_{1 1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

III Relação com o operador Bonami — Beckner

Vamos pensar nas funções de a como polinômios polilineares. Deixe . Considere o operador Ele mapeia todo polinômio multilinear para um polinômio multilinear . Temos, que . Observe que as partes I e II seguem essa fórmula e propriedades do operador Bonami-Beckner. $\{0,1\}^n$ ${\mathbb R}$ $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

{UMA}_{δ} (f) = f (x_{1 1} + δ, ..., x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$

f

$f$

A [f]

$A[f]$

R_{p_{1 1}, p_{2}} (f) = {UMA}_{δ}^{- 1 1} T_{ε} {UMA}_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

— Yury
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Yury, obrigado pela resposta! Esse é um bom ponto de partida para eu trabalhar; Agora eu deveria ser capaz de descobrir se existem análogos da desigualdade hipercontrativa. Vou postar aqui se eu tiver uma análise mais interessante.

— Amir

Isso é muito tempo depois do fato, mas estou curioso para saber como você derivou a terceira parte e a relação com o operador Becker Bonami?

— Amir

(a) é suficiente para verificar a identidade de e . Se for válido para e , é fácil ver que é válido para todos os caracteres. Por linearidade, ele vale para todas as funções. (b) Alternativamente, de I, e têm o mesmo conjunto de valores próprios; eigenvector de “corresponde” ao vector próprio de . Assim, onde A é um mapa linear que mapeia para .

f = 1

$f=1$

f = x_{i}

$f=x_i$

1

$1$

x_{i}

$x_i$

T_{ε}

$T_\varepsilon$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$

T

$T$

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$

R

$R$

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$

ξ (x)

$\xi(x)$

x

$x$

— Yury

3

$R_{p_1, p_2}$ $R_{p,0}$

$R_{p,0}$ $f$ $\ell_2$ $f$ $\mu$ $p$

— Amir
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Você pode querer 'aceitar' esta resposta para que a questão não continuam surgindo (disclaimer: Eu sou um autor sobre o papel ligado)

— Suresh Venkat