Reconhecendo gráficos de linha de hipergrafos

O gráfico de linhas de um hipergrafo é o gráfico (simples) com arestas de pois os vértices com duas arestas de são adjacentes em se tiverem uma interseção não vazia. Um hipergrafo é um hiper-gráfico se cada uma de suas arestas tiver no máximo vértices.G H H G r $H$$G$$H$$H$$G$$r$$r$

Qual é a complexidade do seguinte problema: Dado um gráfico , existe um hipergrafo tal que é o gráfico de linhas de ?3 H G $G$$3$$H$$G$$H$

É bem conhecido que o reconhecimento gráficos de linhas de -hypergraph é polinomial, e sabe-se (por Poljak et al., Discrete Appl. Math. 3 (1981) 301-312) que reconhece gráficos de linhas de -hypergraphs é NP -complete para qualquer fixo . r r ≥ $2$$r$$r \ge 4$

Nota: No caso de hypergraphs simples, ou seja, todas as hyperedges são distintas, o problema é NP-completo, conforme comprovado no artigo de Poljak et al.

Encontrei a versão em diário da pré-impressão de Skums et al. apontado por @mhum; está aqui: Matemática Discreta 309 (2009) 3500–3517 . Lá, os autores corrigiram sua citação da seguinte forma:

A situação muda radicalmente se alguém pegar vez de . Lovasz colocou o problema de caracterizar a classe e observou que ela não possui caracterização por uma lista finita de subgráficos induzidos proibidos ( uma caracterização finita ) [9]. Foi provado que os problemas de reconhecimento " " para " " [15], " " para e o problema de reconhecimento de gráficos de interseção de arestas de - hipergrafos uniformes sem arestas múltiplas [15] são NP-completos.k = 2 L 3 G ∈ L k k ≥ 4 G ∈ L l 3 k ≥ 3 $k \ge 3$$k = 2$$L_3$$G \in L_k$$k \ge 4$$G \in L^l_3$$k \ge 3$$3$

A referência 15 é o mencionado Poljak et al. (1981).

Então, eu acho que reconhecer gráficos de linha de hipergrafos (com várias arestas permitidas) é um PROBLEMA ABERTO , e a resposta de @ mhum realmente foi útil nessa descoberta. Obrigado!$3$

Eu não tenho acesso ao Poljak et al. artigo, mas o resumo aqui parece indicar que o reconhecimento de gráficos de linha de hiper -gráficos é NP completo para , não . Além disso, a citação nos gráficos de interseção de Edge dos hipergrafos lineares uniformes , Skums et al. (pdf) parece indicar que este é o caso:r ≥ 3 $r$$r \geq 3$$4$

A situação muda principalmente se considerarmos vez de . Lovasz colocou o problema de caracterizar a classe e observou que ela não possui caracterização por uma lista finita de subgráficos induzidos proibidos ( uma caracterização finita ) [10]. Foi provado que os problemas de reconhecimento " " [17] e " " para [5] estão completos em NP.k = 2 L 3 G ∈ L 3 G ∈ L l k k ≥ $k=3$$k=2$$L_3$$G \in L_3$$G \in L^l_k$$k\geq3$

A referência 17 desse trabalho é a citada Poljak et al. (1981). é a classe de hipergrafos uniformes e é a classe de hipergrafos lineares uniformes.L L $L_3$$L^l_3$