Construtividade na prova natural e na complexidade geométrica

Recentemente, Ryan Willams provou que a Construtividade na Prova Natural é inevitável para derivar uma separação de classes de complexidade: $\mathsf{NEXP}$ e . $\mathsf{TC}^{0}$

A construtividade na prova natural é uma condição que todas as provas combinatórias na complexidade do circuito satisfazem e que podemos decidir se a função de destino em (ou outras classes de complexidade "rígidas") possui uma propriedade "rígida" por um algoritmo que executa em poli-tempo no comprimento da tabela de verdade da função de destino.$\mathsf{NEXP}$

As outras duas condições são: a condição inútil que requer propriedade "hard" não pode ser calculada por nenhum circuito em e a condição de grandeza que a propriedade hard é fácil de encontrar.$\mathsf{TC}^0$

Minha pergunta é :

Esse resultado torna a Teoria da Complexidade Geométrica (GCT) indisponível para resolver os principais problemas de separação, como vs , vs ou vs ?N P P N C N E X P T C$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

Referências:

• Ryan Williams, " Provas naturais versus desa des randomização "

Nenhuma, a inevitabilidade de construtividade definitivamente ainda folhas GCT aberto como um plano viável de ataque em menores problemas ligados, tais como vs P / p o l y .$NP$$P/poly$

$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

Segundo, a centralidade da caracterização de simetria (já mencionada por siuman) no TCG se tornou mais aparente desde a pesquisa de Regan. Se a caracterização de simetria é tão crucial para o TCG quanto parece, então isso já contorna a condição de grandeza. Para a definição de caracterização de simetria, consulte esta resposta a uma pergunta anterior intimamente relacionada .

Para uma prova de que a caracterização de simetria viola a grandeza, consulte a Seção 3.4.3 "A caracterização de simetria evita a barreira Razborov-Rudich" em minha tese (auto-descaradas descaradas, mas eu não sei em nenhum outro lugar onde isso está escrito tão completamente) . Suspeito que isso também viole a construtividade, mas deixei isso como uma questão em aberto. (No capítulo 3, também há uma visão geral dos teoremas de flip no GCT e como eles se relacionam com a caracterização de simetria.)

(Acho interessante que a caracterização de simetria - a própria propriedade que suspeitamos será usada no GCT que rodeia Razborov - Rudich - é usada para provar os teoremas do flip, que essencialmente dizem que a construtividade é necessária.)

$NP$$P/poly$

$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

$P$$NP$

Mais alguns comentários sobre isso: a relação entre o GCT e as provas naturais foi discutida no passado (mesmo nos próprios documentos originais do GCT). Embora não pareça ter havido consenso sobre qual "construtividade" ou "grandeza" seria violada pela abordagem do TCG, Mulmuley e Sohoni argumentaram em um ponto que se o TCG pudesse ser realizado, deveria violar a grandeza. Para uma referência relevante, consulte a Seção 6 da visão geral do Regan sobre o GCT . No entanto, devo acrescentar que essa visão geral já tem 10 anos e uma quantidade considerável de trabalho foi dedicada ao GCT desde então; Não tenho a certeza se existe alguma opinião revista / nova sobre este assunto. (Talvez Josh Grochow possa gritar?)

A resposta curta é não .

A abordagem da Teoria da complexidade geométrica tem como alvo certas propriedades extremamente raras, que Mulmuley argumenta que não é "grande", conforme definido por Razborov e Rudich. Para um argumento formal, veja também a tese de Joshua Grochow , Seção 3.4.3 . A caracterização de simetria evita a barreira Razborov – Rudich e sua resposta .

O parágrafo a seguir vem de On P vs. NP e Geometric Complexity Theory, de Ketan Mulmuley ( JACM 2011 ou manuscrito ), Seção 4.3 Um Plano de Alto Nível :

O objetivo é executar essas etapas explicitamente, explorando a caracterização por simetrias do permanente e do determinante. Nós especificaremos o que explícito significa mais tarde; cf. Hipótese 4.6. Essa abordagem é extremamente rígida no sentido de que só funciona para funções difíceis extremamente raras que são caracterizadas por suas simetrias. Essa extrema rigidez é muito mais do que o necessário para contornar a barreira da prova natural [Razborov e Rudich 1997].

Como as condições de construtividade e de grandeza são necessárias para uma prova natural (onde a utilidade é implícita), provar que a construtividade é inevitável não é suficiente para descartar tais abordagens (embora seja um grande passo adiante).