Proporção áurea ou Pi no tempo de execução

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Existem muitos lugares onde os números e aparecem. Estou curioso para saber sobre algoritmos cujo tempo de execução contém a proporção áurea ou no expoente. $\pi$ $(1+\sqrt5)/2$ $\pi$

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— Plummer
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Existe algum motivo computacional específico para suspeitar que isso possa acontecer? E sem saber onde ela surge, você acha que há algum insight em particular a ser obtido?

— Niel de Beaudrap

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A proporção áurea surge na análise de complexidade de programas semelhantes em estrutura recursiva à recursão envolvida nos números de Fibonacci : .

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$

— Martin Berger

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O limite inferior de tempo / espaço de Fortnow e Melkebeek para a solvabilidade do SAT continha a proporção áurea ( tempo e espaço); mas o expoente foi melhorado mais tarde por Ryan Williams.

n^{ϕ - ϵ}

$n^{\phi - \epsilon}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

— Marzio De Biasi

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@MarzioDeBiasi Acho que seu comentário dá uma boa resposta, mesmo que o resultado tenha sido melhorado. O interessante é que não há uma análise que produz a proporção áurea no expoente

— Sasho Nikolov

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@NieldeBeaudrap Espero ver algum padrão entre os exemplos. Por exemplo, o expoente e aparece em muitos lugares em algoritmos aleatórios. Não me surpreendo com isso, pois sei que esse tipo de atividade leva a respostas que envolvem e. Eu queria saber se algo assim pode ser dito sobre algoritmos que têm proporção áurea nos tempos de execução.

— Plummer

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É a base e não o expoente, mas há um tempo FPT vinculado em $O(\varphi^k n^2)$

" Um algoritmo tratável de parâmetro fixo eficiente para minimização de cruzamento de um lado ", Vida Dujmovic, Sue Whitesides, Algorithmica 40: 15–31, 2004.

Além disso, é um limite inferior em vez de superior, mas:

" Um limite no tempo para simular uma fila ou dois $n^{1.618}$ repositórios de empilhamento por uma fita ", Paul MB Vitányi, Inf. Proc. Lett. 21: 147-152, 1985.

Finalmente, o que eu estava tentando encontrar quando encontrei os outros dois: a árvore de sanduíche de presunto, uma estrutura de dados agora obsoleta em geometria computacional para consultas de intervalo triangular, tem o tempo de consulta . Portanto, a proporção áurea está corretamente no expoente, mas com um log e não como ele próprio. A estrutura de dados é uma partição hierárquica do avião em células convexas, com a estrutura geral de uma árvore binária, onde cada célula e seu irmão na árvore são particionados com um corte em sanduíche de presunto. O tempo de consulta é determinado pela recorrência , que possui a solução acima. É descrito (com um nome mais chato) por $O(n^{\log_2\varphi})\approx O(n^{0.695})$ $Q(n)=Q(\frac{n}{2})+Q(\frac{n}{4})+O(\log n)$

" Pesquisa de faixa semiplanar no espaço linear e tempo de consulta $O(n^{0.695})$ ", Herbert Edelsbrunner, Emo Welzl, Inf. Proc. Lett. 23: 289-293, 1986.

— David Eppstein
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Não tenho certeza se me sentiria confortável em dizer que possui no expoente.

n^{\log_{2} φ} = φ^{\log_{2} n}

$n^{\log_2\varphi}=\varphi^{\log_2n}$

φ

$\varphi$

— Emil Jeřábek apoia Monica no dia

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(do meu comentário acima)

Os limites de tempo / espaço de Fortnow e Melkebeek para a solvabilidade do SAT ( tempo e espaço) continham a proporção áurea do expoente; mas foi melhorado mais tarde por Ryan Williams . $n^{\phi - \epsilon}$ $n^{o(1)}$

— Marzio De Biasi
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c o N T I M E [n] ⊈ N T I M E S P A C E [n^{ϕ + o (1)}, n^{o (1)}]

$\mathrm{coNTIME}[n]\nsubseteq\mathrm{NTIMESPACE}[n^{\phi+o(1)},n^{o(1)}]$

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Também na base, e não no expoente: o algoritmo de Monien-Speckenmeyer para 3-SAT possui um tempo de execução de . Esse foi o primeiro limite superior não trivial do 3-SAT. $\varphi^n\cdot O(n)$

— Jan Johannsen
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Outro exemplo de na base é um algoritmo de Andreas Björklund e Thore Husfeldt para calcular a paridade do número de ciclos hamiltonianos direcionados, que são executados no tempo . $\varphi$ $O(\varphi^n)$

http://arxiv.org/abs/1301.7250

— Tyson Williams
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Também na base: O algoritmo de deleção-contração (Zykov, 1949) para calcular o número de cores do gráfico é executado no tempo . Este é um exemplo muito canônico de como a proporção áurea aparece de uma recorrência de Fibonacci durante o tempo de execução da avaliação de uma fórmula recursiva natural; Tenho certeza que é o mais antigo. $O(\phi^{|E|+|V|})$

Mikko Koivisto encontrou um algoritmo para calcular o número de combinações perfeitas (IWPEC 2009). $O(\phi^{|V|})$

— Thore Husfeldt
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Ração de ouro na base: um algoritmo FPT muito recente de Kociumaka e Pilipczuk, Conjunto de Vértices de Feedback determinístico mais rápido calcula um FVS de tamanho no tempo . (Eles aprimoram seu algoritmo para rodar no tempo .) $k$ $O^*\left((2 + \phi)^k\right)$ $O^*(3.592^k)$

— vb le
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para expandir o comentário de Martin Bergers: o antigo algoritmo Euclidean GCD é executado no pior dos casos em dois elementos sucessivos da sequência de Fibonacci. mais detalhes na wikipedia, que também afirma:

Essa prova, publicada por Gabriel Lamé em 1844, representa o início da teoria da complexidade computacional, [93] e também a primeira aplicação prática dos números de Fibonacci. [91]

tecnicamente, o algoritmo GCD é executado no tempo logarítmico mas a proporção áurea aparece no número de etapas do algoritmo. $O(\log(n))$

[1] qual é a complexidade temporal do algoritmo Euclides, math.se

— vzn
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Qual a diferença entre o tempo e o número de etapas?

— Nicholas Mancuso 31/01

Lamento que deve ler # de operações aritméticas

— vzn

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\log_{φ} N

$\log_{\varphi}N$

O ((\log N)^{2})

$O((\log N)^2)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

T (a, b)

$T(a,b)$

T (a, b) = O (l o g_{ϕ} b)

$T(a,b)=O(log_\phi b)$

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O (\log_{ϕ} b)

$O(\log_\phi b)$

O

$O$