Definições equivalentes de construtibilidade temporal

Dizemos que uma função é construtível no tempo , se existir uma máquina de Turing determinística múltiplas fitas que em todas as entradas de comprimento faça no máximo etapas e para cada existe alguma entrada de comprimento na qual executa exatamente etapas. $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$ $n$ $n$ $M$ $f(n)$

Dizemos que uma função é totalmente construtível no tempo , se existir uma máquina de Turing determinística várias fitas que em todas as entradas de comprimento faça exatamente etapas . $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$

Q1: Existe uma função que seja construtível no tempo e não totalmente construtível no tempo?

A resposta é sim (veja esta resposta ), se . A condição para "sim" pode ser reforçada para ? O "sim" pode ser provado? $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ $P\neq NP$

P2: A classe de funções (totalmente) constitutivas no tempo muda se permitirmos apenas máquinas de Turing com 2 fitas na definição?

Q3: Quais são as razões "prováveis" para acreditar que todas as funções legais são totalmente construtíveis no tempo?

O artigo
Kojiro Kobayashi: Provando a Construtibilidade de Funções no Tempo. Theor. Comput. Sci. 35: 215-225 (1985)
responde parcialmente a Q3. O resumo parcial e a atualização estão nesta resposta . Eu tomo Q3 como respondido.

Historicamente, a noção de função contável em tempo real foi usada em vez de (totalmente) construtiva em tempo. Veja esta pergunta para mais.

cc.complexity-theory time-complexity terminology

— David G
fonte

Curioso - você poderia me indicar uma referência para essas definições? Não estou familiarizado com funções construtivas e não consigo encontrar essas definições on-line (também não é óbvio para mim se elas são equivalentes, por exemplo, às da wikipedia ).

— usul

@usul A referência é: JE Hopcroft, JD Ullman. Introdução à teoria dos autômatos, linguagens e computação. Série Addison-Wesley em Ciência da Computação, 1979 A mesma definição pode ser encontrada aqui: cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html

— David G

Nos últimos dias, pensei muito em funções (totalmente) construtivas no tempo e apresentarei o que descobri respondendo ao Q1 e Q3. Q2 parece muito difícil.

Q3:

Kobayashi em seu artigo (a referência está na pergunta) provou que uma função , para a qual existe um st , é totalmente construtível no tempo se for computável em tempo. (observe que é irrelevante se a entrada ou a saída está em unário / binário, pois podemos transformar entre essas duas representações em tempo linear). Isso torna as seguintes funções totalmente construtíveis no tempo: , $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $\epsilon>0$ $f(n)\geq (1+\epsilon)n$ $O(f(n))$ $2^n$ ,, , todos os polinómios mais de r ... Kobayashi também se provou ser totalmente tempo-construtibilidade para algumas funções que crescem mais lentamente do que , como para ... $2^{2^n}$ $n!$ $n\lfloor \log n \rfloor$ $p$ $\mathbb{N}$ $p(n)\geq (1+\epsilon)n$ $(1+\epsilon)n$ $n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$ $q\in\mathbb{Q}^+$

Para continuar com exemplos de funções totalmente construtíveis no tempo, pode-se provar que, se e são totalmente construtíveis no tempo, então , , e são também totalmente construtível no tempo (a seguir segue diretamente do Teorema 3.1 em Kobayashi). Isso me convence de que muitas funções agradáveis são de fato totalmente construtíveis no tempo. $f_1$ $f_2$ $f_1+f_2$ $f_1f_2$ $f_1^{f_2}$ $f_1\circ f_2$

É surpreendente que Kobayashi não tenha visto uma maneira de provar totalmente a construtibilidade no tempo da função (agradável) (e nem eu). $\lfloor n\log n\rfloor$

Vamos também comentar a definição do artigo da Wikipedia : Uma função é construtível no tempo, se existe uma máquina de Turing que, dada uma string , gera no tempo . $f$ $M$ $1^n$ $f(n)$ $O(f(n))$ Vemos que esta definição é equivalente à nossa definição de construtibilidade no tempo total para as funções . $f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1:

Esta pergunta tem uma resposta realmente interessante. I afirmam que, se todas as funções de tempo-construtıvel são totalmente tempo-construtıvel, então . Para provar isso, tomemos um problema arbitrário , . Então existe um , st $EXP-TIME=NEXP-TIME$ $L\in NEXP-TIME$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ pode ser resolvido por um NDTM em passos. Podemos supor que a cada passo entre no máximo dois estados diferentes para simplificar. Agora defina a função $M$ $2^{n^k-1}$ $M$

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & if (first ⌊ \sqrt[k]{⌊ \log n ⌋ + 1} ⌋ bits of b i n (n)) \in L \\ 8 n + 1 & else \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

Afirmo que é construtível no tempo. Considere a seguinte máquina de Turing determinística : $f$ $T$

na entrada de comprimento calcula $w$ $n$ emtempo $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $O(n)$
depois simula nesses bits, onde os bits de determinam quais escolhas (anteriormente não determinísticas) devem ser tomadas. $M$ $w$
aceite iff . $\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

Observe que o comprimento de ( ) é suficiente para determinar todas as opções não determinísticas, pois na entrada $w$ $=n$ $M$ realiza no máximoetapas. $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $n$

Podemos fazer o rodar no máximo etapas. Agora, a seguinte máquina de Turing prova que é construtível no tempo: $T$ $8n+1$ $f$

na entrada de comprimento execute e conte os passos em paralelo para que sejam executados exatamente passos. $w$ $n$ $T$ $8n$
se rejeitou ou rejeitaria na próxima etapa, vá para um estado de parada na próxima etapa. Senão, dê mais um passo e depois pare. $T$

Agora, suponha que seja totalmente construtível no tempo. Vamos provar que isto conduz a . $f$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

O seguinte algoritmo resolve : $L$

na entrada , seja o número com representação binária ( zeros). Segue que $x$ $n$ $x00\ldots 0$ $|x|^{k-1}$ . $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
calcule no tempo e verifique se é divisível por 2. $f(n)$ $f(n)$

Este algoritmo é executado em exponencial tempo e resolve . Uma vez que foi arbitrária, . $L$ $L\in NEXP-TIME$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

— David G
fonte

Muito agradável! [preenchendo para deixar a caixa de comentários feliz]

— Emil Jeřábek apoia Monica

Uma idéia muito semelhante à apresentada na resposta à pergunta Q1 também é usada aqui .

— David G