A resposta curta : o conhecimento realmente mínimo de matemática para entender a primeira metade do plano de TCG, depois de ver um pouco de grupos, anéis e campos, é basicamente apresentado no capítulo 3 da minha tese (vergonha auto-plausível ) Esse capítulo é, no entanto, incompleto, na medida em que não chego à parte da teoria da representação. A teoria da representação é crucial para a segunda metade do plano (e é por isso que estou trabalhando na extensão desse capítulo para incluí-lo).
Se você realmente deseja entrar no GCT, Simetria, Representações e Invariantes de Goodman e Wallach e Ações e Invariantes de Grupos Algébricos de W. Ferrers Santos são relativamente independentes e têm muitas informações boas que são pertinentes ao GCT. Não tenho certeza se são as melhores fontes para aprender, pois só aprendi sobre elas depois de aprender muito desse material, mas elas são boas em termos da proporção entre o que cobrem e o que é relevante para o GCT. Fulton e Harris são ótimos para a teoria da representação e muitos exemplos / exercícios do livro são relevantes para o GCT.
A resposta mais longa : realmente depende do que / quanto você deseja aprender sobre o GCT, como apontou Vijay. Os tópicos abaixo são exatamente o que eu acho que é o pano de fundo necessário, já que essa era a questão. Não tenho certeza se esta é uma lista completa - eu recomendaria tentar ler alguns dos artigos sobre GCT e, quando você se perder, procure material de apoio. Enquanto você aprende o material de apoio, de vez em quando volta aos documentos do GCT e vê se pode seguir adiante.
(Dependendo do que você quer aprender, eu realmente discordo de Zeyu de que você deveria tentar primeiro álgebra comutativa de pós-graduação, embora em algum momento de aprender o GCT isso seja necessário.)
Se você deseja entender, por exemplo, o recente artigo do FOCS de Mulmuley , você deve entender:
Se você quiser entender o esboço geral da abordagem GCT, mas com alguns detalhes matemáticos , sugiro:
O problema permanente versus determinante. # P-completude de permanente e GapL-completude de determinante. Agrawal tem uma boa pesquisa (apenas um pouco desatualizada) sobre isso, e as provas de completude podem ser encontradas no livro de Burgisser, Completeness and Reductions in Algebraic Complexity Theory .
Grupos e ações de grupo (grupos algébricos e ações de grupos algébricos são úteis, mas não são necessários neste nível). Você deve entender o teorema do estabilizador de órbita.
Afine a geometria algébrica através da Nullstellensatz de Hilbert. Basicamente, você só precisa entender a correspondência entre variedades algébricas afins e seus anéis de coordenadas.
G LnG Ln
Se você quiser entender profundamente o que está acontecendo (e ainda não tenho certeza de que posso estar lá, mas acho que sei o que preciso saber para chegar lá), provavelmente também deve entender:
A estrutura de grupos algébricos redutivos e fechamento de órbitas em suas representações. Gosto do livro de W. Ferrers Santos para isso, mas também de Grupos Algébricos Lineares de Borel , Os Grupos Clássicos de Weyl e outros clássicos.
O maquinário Luna-Vust (Teorema da fatia de Luna, complexidade Luna-Vust)
Dualidade Tannakiana (veja o artigo de Deligne - Milne ; será uma leitura difícil, sem algum conhecimento em teoria de categorias e grupos algébricos afins). Isso diz essencialmente que "grupos algébricos (pró) afins são determinados por suas representações". Eu não acho que você precise de todo o artigo, mas de como recuperar um grupo de sua categoria de representações (Cor. 3.4).
Mais teoria da representação , especialmente aplicada aos anéis de coordenadas de grupos algébricos e seus fechamentos de órbita. Eu realmente gosto do livro de Goodman e Wallach para isso, principalmente porque é basicamente independente e tem muito exatamente o que você precisa para entender o GCT. (Além disso, muitas das seções expositivas / laterais e exercícios de Fulton e Harris estão certos na GCT, especialmente aqueles sobre os coeficientes de Littlewood-Richardson e Kronecker.)
Se você realmente deseja trabalhar na teoria das representações , provavelmente quer entender mais a teoria combinatória algébrica / representação combinatória. Eu realmente não sei todas as referências corretas para isso, mas certamente entender a regra de Littlewood-Richardson é uma obrigação, e o livro de Fulton, Young Tableaux, é bom para isso.
Os artigos mais recentes deste lado das coisas que eu conheço são Blasiak , Kumar e Bowman, De Visscher e Orellana .
Dependendo da direção em que você deseja seguir, você também pode procurar grupos quânticos, embora isso não seja necessariamente necessário (nota: esse não é um caso especial de grupo, mas uma generalização em uma determinada direção).
No lado mais geométrico das coisas , convém examinar coisas como geometria diferencial para espaços tangentes e osculantes, curvatura, variedades duplas e similares, que estão subjacentes ao limite inferior mais conhecido em perm vs. det devido a Mignon --Ressayre e seguido por Landsberg - Manivel - Ressayre . ( Mignon - Ressayre pode ser entendido sem nenhuma dessas coisas, mas você pode ver o papel deles livremente estudando a curvatura de certas variedades; para uma visão menos flexível, veja o uso de variedades duplas em Landsberg - Manivel - Ressayre . ) (Veja também Cai, Chen e Li , que estendem Mignon - Ressayre a todas as características ímpares.) Veja também Landsberg e Kadish .
Se você está interessado na abordagem GCT para multiplicação de matrizes , trata-se de classificação de tensores, classificação de fronteiras e variedades secantes. Sugiro que olhe os artigos de Burgisser - Ikenmeyer , Landsberg e Ottaviani , Landsberg , pesquisa e livro de Landsberg . Obviamente, também seria bom conhecer o material clássico sobre multiplicação de matrizes (limites superior e inferior), mas essa é uma lata de vermes totalmente separada.